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| Aufgabe | Skizzieren Sie mithilfe des GTR für verschiedene Werte von a Element von R
Schaubilder der Funktionen f und g mit:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}+a [/mm] und [mm] g(x)=\bruch{1}{x^{2}}+a
[/mm]
Machen Sie Aussagen über Symmetrie, Steigungsverhalten, Verhalten für [mm] x\to [/mm] 0,
und Verhalten für x [mm] \to [/mm] +/- unendlich! |
Hallo zusammen,
Über diese kleine Aufgabe muss ich morgen einen Vortrag halten,
habe sie meiner Meinung auch gelöst, aber wäre sehr dankbar über Verbesserungsvorschläge, Tipps, Ergänzungen, etc....
(Da man danach noch Sachen gefragt wird, die etwas tiefer ins Thema eingreifen, jedoch auch zu der Aufgabe)
Also hier meine Lösungen bisher:
Zuerst habe ich für a=0 gesetzt, sodass man die Grundfunktionen für f und g bekommt.
Zur Symmetrie:
f ist Punktsymmetrisch zu 0, weil der Exponent von x=1 ist, also ungerade.
g ist Achensymmetrisch zu y da der Exponent von x=2 ist, also gerade.
Zum Steigungsverhalten:
bei f: für x<0 ist f(x) monoton fallend und für x>0 ist f(x) auch monoton fallend...als Nachweis könnte man mit dem GTR Tangenten mit Zahlen >0 bzw.
<0 einzeichnen lassen, sodass man sieht, die Tangentensteigung ist in beiden Fällen negativ.(?)
Alternativ kann man sich die Ableitung zu f ausrechnen und positive bwz. negative Zahlen einsetzen, über den Monotoniesatz erhält man beide Male
f '(x)<0 also monoton fallend.(?)
Ich schätze die Methode mit dem GTR wird bevorzugt werden...
bei g: für x<0, f(x) monoton steigend, für x>0, f(x) monoton fallend.
Verhalten für [mm] x\to [/mm] 0
0 ist bei beiden Funktionen die Definitionslücke,
d.h. die Funktion ist für alle Zahlen bis auf 0 definiert.
Man unterscheidet also auch noch von welcher Seite die Funktion sich nähert:
bei f: [mm] x\to [/mm] 0, x<0 geht f(x) gegen - unendlich, [mm] x\to [/mm] 0, x>0 geht f(x) gegen unendlich
bei g: [mm] x\to [/mm] 0, x<0 geht f(x) gegen unendlich und für [mm] x\to [/mm] 0, x>0 geht f(x) auch gegen unendlich
die Begründung warum das so ist:
Die Funktion erreicht NIEMALS die Definitionslücke also gehen die Funktionswerte bis +/- unendlich weiter(stimmt das?)
Verhalten x [mm] \to [/mm] +/- unendlich
bei f und g: für [mm] x\to [/mm] -/+ unendlich geht f(x) gegen 0
Begründung: 0 ist Definitionslücke, d.h. wenn x gegen unendlich läuft, kommt die Funktion (hier) der X Achse beliebig nahe, verläuft also gegen 0, oder allgemein gegen die Definitionslücke.
Das ist gleichzeitig eine waagrechte Asymptote bei Y=0(?)
Zudem steht in der Aufgabe ja verschiedene Werte für a einzusetzen,
ich habe mir überlegt, es ist vllt am sinnvollsten eine negative, positive Zahl+0 einzusetzen...
0 habe ich ja eben gemacht für a=-5:
Funktionen verschieben sich jeweils um 5 nach unten, im Gegensatz zu der Grundfunktion, dabei ändert sich folgendes:
Symmetrie:
f hat Punktsymmetrie also ändert sich diese von 0 auf -5.
(reicht die Begründung, dass sich die gesamte Funktion lediglich nach unten um 5 verschiebt?)
g bleibt Achensymmetrisch zur Y Achse
Steigungsverhalten bleibt gleich(?)
Verhalten [mm] x\to [/mm] 0 bleibt gleich(?)
Verhalten x [mm] \to [/mm] +/- unendlich ändert sich und richtet sich nach der Verschiebung:
Läuft die Funktion gegen +/- unendlich nähert sie sich hier der Asymptote
Y=-5...stimmt das soweit?
Wäre jedem wirklich sehr dankbar, der sich das eben anschaut und das kommentiert und Tipps geben kann!
Ist ein neues Thema für mich!
Vielen Dank im Vorraus!
MFG
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Hallo!
> Hallo zusammen,
> Über diese kleine Aufgabe muss ich morgen einen Vortrag
> halten,
> habe sie meiner Meinung auch gelöst, aber wäre sehr
> dankbar über Verbesserungsvorschläge, Tipps, Ergänzungen,
> etc....
> (Da man danach noch Sachen gefragt wird, die etwas tiefer
> ins Thema eingreifen, jedoch auch zu der Aufgabe)
Zunächst: Das Thema heißt "Funktionsscharen", d.h. man untersucht nicht nur eine Funktion, sondern gleich eine ganze Menge. Diese "Menge" entsteht dadurch, dass in den Funktionen noch ein so genannter Parameter, z.B. "a" auftritt, den man beliebig ändern kann. Zu beachten: Er ist trotzdem "fest", d.h. man muss ihn beim Ableiten etc. wie eine konstante Zahl behandeln.
> Also hier meine Lösungen bisher:
> Zuerst habe ich für a=0 gesetzt, sodass man die
> Grundfunktionen für f und g bekommt.
> Zur Symmetrie:
> f ist Punktsymmetrisch zu 0, weil der Exponent von x=1
> ist, also ungerade.
> g ist Achensymmetrisch zu y da der Exponent von x=2 ist,
> also gerade.
Das ist alles richtig.
> Zum Steigungsverhalten:
> bei f: für x<0 ist f(x) monoton fallend und für x>0 ist
> f(x) auch monoton fallend...als Nachweis könnte man mit dem
> GTR Tangenten mit Zahlen >0 bzw.
> <0 einzeichnen lassen, sodass man sieht, die
> Tangentensteigung ist in beiden Fällen negativ.(?)
> Alternativ kann man sich die Ableitung zu f ausrechnen und
> positive bwz. negative Zahlen einsetzen, über den
> Monotoniesatz erhält man beide Male
> f '(x)<0 also monoton fallend.(?)
> Ich schätze die Methode mit dem GTR wird bevorzugt
> werden...
Schon, aber Rechnen ist eigentlich besser, weil man ja nicht IMMER einen Taschenrechner hat.
$f(x) = [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] -\bruch{1}{x^{2}} [/mm] < [mm] 0\mbox{ für alle }x\mbox{, weil }x^{2}\mbox{ immer größergleich 0. Damit ist f(x) stets monoton fallend.}$
[/mm]
$g(x) = [mm] \bruch{1}{x^{2}} \Rightarrow [/mm] g'(x) = [mm] -\bruch{2}{x^{3}}$
[/mm]
Dieser Term ist kleiner 0 (d.h. g(x) monoton fallend), falls x > 0, und der Term ist größer 0 (d.h. g(x) monoton wachsend/steigend), falls x < 0.
> bei g: für x<0, f(x) monoton steigend, für x>0, f(x)
> monoton fallend.
Richtig.
> Verhalten für [mm]x\to[/mm] 0
> 0 ist bei beiden Funktionen die Definitionslücke,
> d.h. die Funktion ist für alle Zahlen bis auf 0
> definiert.
Richtig. Schreibe:
[mm] D_{f} [/mm] = [mm] D_{g} [/mm] = [mm] \left\{x\in\IR\Big|x\not= 0\right\}
[/mm]
Nur als kleine Randbemerkung: Das gilt für jede Funktion f(x) bzw. g(x), egal welchen Wert a hat, weil der Wert a natürlich als konstante Zahl nicht den Definitionsbereich beeinflusst.
> Man unterscheidet also auch noch von welcher Seite die
> Funktion sich nähert:
> bei f: [mm]x\to[/mm] 0, x<0 geht f(x) gegen - unendlich, [mm]x\to[/mm] 0, x>0
> geht f(x) gegen unendlich
Richtig. Schreibe
[mm] $\lim_{x\to 0+} [/mm] f(x) = [mm] -\infty$ [/mm] (rechtsseitiger Grenzwert, d.h. x > 0)
[mm] $\lim_{x\to 0-} [/mm] f(x) = [mm] \infty$ [/mm] (linksseitiger Grenzwert, d.h. x < 0)
> bei g: [mm]x\to[/mm] 0, x<0 geht f(x) gegen unendlich und für [mm]x\to[/mm]
> 0, x>0 geht f(x) auch gegen unendlich
Richtig, Siehe oben.
> die Begründung warum das so ist:
> Die Funktion erreicht NIEMALS die Definitionslücke also
> gehen die Funktionswerte bis +/- unendlich weiter(stimmt
> das?)
Naja, etwas schwammig: Hier bietet sich ein kleines GTR-Experiment an:
Man setzt Werte, die nahe Null sind in die Funktion ein, beispielsweise
f(0.1) = [mm] \bruch{1}{0.1} [/mm] = 10
f(0.001) = [mm] \bruch{1}{0.001} [/mm] = 1000
...
Daran kann man sehen, dass die Funktion, wenn sie sich immer stärker von rechts Null nähert, immer größere Werte annimmt, weil der Nenner des Bruches immer kleiner wird.
> Verhalten x [mm]\to[/mm] +/- unendlich
> bei f und g: für [mm]x\to[/mm] -/+ unendlich geht f(x) gegen 0
> Begründung: 0 ist Definitionslücke, d.h. wenn x gegen
> unendlich läuft, kommt die Funktion (hier) der X Achse
> beliebig nahe, verläuft also gegen 0, oder allgemein gegen
> die Definitionslücke.
Das ist leider nicht richtig. Du verwechselst gerade x- und y-Werte. Wenn f(x) gegen 0 geht, heißt das, dass der y = f(x) gegen 0 geht, nicht dass x gegen 0 geht. Die Definitionslücke liegt aber bei x = 0!
Die Begründung kann man auch hier wieder mit Beispielen zeigen (Schreibweise korrekterweise wieder mit Grenzwerten):
f(10) = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] = 0.1
f(1000) = [mm] \bruch{1}{1000} [/mm] = 0.001
Man kann sehen, je höhere Werte man in f(x) einsetzt, desto größer wird der Nenner und demzufolge nimmt der Bruch einen immer kleineren y-Wert an. Trotzdem geht dieser y-Wert natürlich nicht ins Negative, sondern nähert sich immer mehr y = 0 an.
> Das ist gleichzeitig eine waagrechte Asymptote bei Y=0(?)
Exakt. Folgt aus obiger Darlegung.
> Zudem steht in der Aufgabe ja verschiedene Werte für a
> einzusetzen,
> ich habe mir überlegt, es ist vllt am sinnvollsten eine
> negative, positive Zahl+0 einzusetzen...
Richtig. Das sollte man tun.
> 0 habe ich ja eben gemacht für a=-5:
> Funktionen verschieben sich jeweils um 5 nach unten, im
> Gegensatz zu der Grundfunktion, dabei ändert sich
> folgendes:
> Symmetrie:
> f hat Punktsymmetrie also ändert sich diese von 0 auf -5.
> (reicht die Begründung, dass sich die gesamte Funktion
> lediglich nach unten um 5 verschiebt?)
Wichtig: Durch die Verschiebung um 5 liegt bei f(x) keine Standardsymmetrie, d.h. punktsymmetrisch um den Koordinatenursprung (oder achsensymmetrisch zur y-Achse). Normalerweise muss aber in solchen Aufgaben nur die Standardsymmetrie behandelt werden.
Natürlich schindet es aber sicher Eindruck, wenn du noch sagst dass die Funktion f(x) jetzt punktsymmetrisch um den Punkt P(0|-5) ist.
> g bleibt Achensymmetrisch zur Y Achse
Genau.
> Steigungsverhalten bleibt gleich(?)
Das bleibt alles wunderbar gleich. Begründung: Wenn ich die Funktion um 5 nach oben bzw. nach unten verschiebe, ist das wie als hätte ich eine Art Draht im Koordinatensystem, den ich jetzt ein Stück höher rücke. Dabei verändert sich aber natürlich nicht die Form des Drahtes, d.h. alles, was du zur Steigung herausgefunden hast, bleibt genauso wie vorher, weil die Funktionen "noch genauso aussehen".
> Verhalten [mm]x\to[/mm] 0 bleibt gleich(?)
Genau. Ist doch auch relativ einfach zu sehen. Angenommen jetzt ist f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - 5. Dann ist
f(0.1) = [mm] \bruch{1}{0.1} [/mm] + 5 = 5
f(0.001) = [mm] \bruch{1}{0.001} [/mm] + 5 = 995
Wie wir leicht sehen, trägt die 5 nur wenig dazu bei, dass sich etwas ändert 
> Verhalten x [mm]\to[/mm] +/- unendlich ändert sich und richtet sich
> nach der Verschiebung:
> Läuft die Funktion gegen +/- unendlich nähert sie sich
> hier der Asymptote
> Y=-5...stimmt das soweit?
Klar. Genau richtig. Wieder Werte einsetzen oder einfach die Logik walten lassen.
> Wäre jedem wirklich sehr dankbar, der sich das eben
> anschaut und das kommentiert und Tipps geben kann!
> Ist ein neues Thema für mich!
> Vielen Dank im Vorraus!
> MFG
Klingt alles sehr gut! Du musst nur auf richtige mathematische Schreibweisen und Sprache achten, darauf geben Mathe-Lehrer auch viel Acht. Vergiss nicht die Behandlung von a = +5. Versuche, wie dir oben schon gelungen ist, so viele Fälle wie möglich als "schon vorher gezeigt" abzuarbeiten, z.B. eben bei der Steigungen der Funktionen f bzw. g, wenn dann a 0 [mm] \pm [/mm] 5.
Es ist sicher sinnvoll, wenn der Graph der gerade behandelten Funktion "allgegenwärtig" ist, d.h. an der Tafel zu sehen, sodass man an ihm immer alles zeigen kann, was man gerade so erzählt. Vermeide es, immer wieder neue Graphen zu zeichnen (Dazu verleitet einen manchmal die Nervosität). Einer, und dann an dem alles zeigen.
Und nochwas Wichtiges: In Mathe-Vorträgen zählt es nicht, dass du möglichst schnell den Stoff runterratterst. Wenn du mal einen kleinen Stocker hast (und das nicht mitten im Satz ist), tut das deinen Mitschülern gut, weil sie dann mal kurz sich nochmal alles durch den Kopf lassen gehen können.
Nochwas: Gerade bei Mathe ist es immer so, dass man den Schülern nicht ansehen kann ob sie es verstehen oder nicht. Vermeide Fragen: "Versteht ihr das" nach jedem einzelnem Stichpunkt. Sage am Anfang, dass sie fragen sollen (sich melden), wenn sie etwas nicht verstehen, und gut.
Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Do 15.01.2009 | | Autor: | Theoretix |
Danke dir für die schnelle und ausführliche Antwort!
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