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Hi!
Ich habe ein (vielleicht nur kleines) Problem. Ich weiss nicht genau wie ich eine Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion bilden kann. Ich weiss z.B das ich die Kettenregel anwenden kann, bei ineinander geschachtelten Funktionen. Dach das trifft hier nicht so ganz zu:
Finden Sie die Ableitung der Funktion;
[mm] \bruch {3x^3 - 7x + \cos x } {log41 x} [/mm]
Ich weiss z.B. das die Ableitung von ln x = 1/x = ln(x)/ln(a) = 1/(x*ln(a)) ist, aber das hilft mir irgendwie nicht wirklich weiter...
Wäre für den jeden kleinen Tipp dankbar!. Sorry fall meine Formel nicht richtig dargestellt wird, bin noch Newbie ...
Danke! :) David
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 21.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es ist bisher alles richtig, was du gesagt hast. Du brauchst hier allerdings nicht die Ketten- sondern die Quotientenregel, die wie folgt lautet: Sei [mm] $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$, [/mm] dann gilt: [mm] $f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h^2(x)}$. [/mm] In deinem Beispiel ist [mm] $g(x)=3x^3-7x+cos(x)$ [/mm] und [mm] $h(x)=log_{41}(x)$. [/mm] Die Ableitung von h hast du selbst schon richtig bestimmt, sie ist nämlich [mm] $h'(x)=\frac{1}{ln(41)\cdot x}$. [/mm] Die Ableitung von $g(x)$ erhältst du über die Summenregel (d.h. du leitest jeden Summanden einzeln ab und addierst die einzelnen Ableitungen). Wenn du beide Ableitungen berechnet hast, kannst du die oben genannte Quotientenregel anwenden und erhältst das Ergebnis.
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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Hallo Hanno! Danke für die schnelle und kompetente Hilfe. Ich hatte einen kleinen Tippfehler in der Funktion, was aber nichts weiter ausmacht. Hier nochmal die "richtige" Funktion:
[mm] f(x) = \bruch {3x^5 - 7^x + \cos x } {log_{41}(x)} [/mm]
Nun, mein [mm] g'(x) = 15x^4 - ln 7 * e^{x*ln(7)} + ( -sin x) [/mm]
h'(x) ist ja bereits bestimmt. Kann ich jetzt schon mit der Quotientenregel weitermachen? Ich wüsste nicht genau, wie ich das addieren kann...
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Yepp, dein g'(x) ist richtig, wobei du den Ausdruck [mm]ln(7)*e^{x*ln(7)}[/mm] wieder umschreiben kannst du [mm]7^x*ln(7)[/mm].
Und jetzt alles in die Quotientenregel einsetzen - und denk dran, dass es nicht nur zu addieren, sondern auch auszumultiplizieren gibt.
Aber einige Terme werden sich in dieser Ableitung nicht mehr zusammenfassen lassen.
Versuch einfach, die Regel anzuwenden (stur nach Formel), und dann können wir ja sehen, ob's geklappt hat.
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Danke erstmal, der Ausdruck ist (wie zu erwarten sehr lang geworden), so lang das ich es nicht hinbekommen habe den in den Formeleditor einzusetzen. :)
Ich glaube aber es passt soweit, mit [mm] h^2(x) [/mm] war ich etwas unsicher.
Danke allen, tolles Forum!
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