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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Sa 24.09.2005 | | Autor: | dytronic |
Hey,
ich hab schon vorhin eine Aufgabe dazu gestellt und habe versucht die folgende ähnlich zu berechnen. Jedoch erfolglos:
Eine Funktion f(x): [mm] \bruch{ax+b}{x+c} [/mm] hat eine Polstelle bei x=3, die Asymptote y(x)= -1 und bei x=1 die Steigung [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] Nun soll ich wieder die Parameter bestimmen.
Hier meine Vorüberlegung:
1. Da es eine Polstelle bei x=3 gibt, muss im Nenner 0 rauskommen, somit ist c=-3 --> 3-3=0 somit wäre c schonmal gelöst
2. Es heisst doch: Die erste Ableitung ist die Steigung. Also hab ich dei erste Ableitung gebildet:
f'(x)= [mm] \bruch{ac-b}{(x+c)^{2}} [/mm] die müsste dann richtig sein
so nun habe ich für x=1 eingesetzt, für c=-3 und die gleichung [mm] \bruch{1}{4} [/mm] gleichgestellt.
Somit kommt dann bei mir folgendes raus:
[mm] \bruch{-3a-b}{4}= \bruch{1}{4} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] -3a-b=0
[mm] \gdw [/mm] b=-3a
aber weiter komme ich nicht. war denn der weg bis jetzt richtig? inwiefern sagt mir die asymptote was
bitte helft mir...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 24.09.2005 | | Autor: | dytronic |
Naja, das ist doch dei Quotientenregel, schon zusammengefasst.
wo is denn da der fehler?
f(x): [mm] \bruch{ax+b}{x+c} [/mm]
Ich kanns auch ausführlich nochmal hinschreiben
f'(x): [mm] \bruch{a(x+c) - 1(ax+b)}{(x+c)^{2}} [/mm]
so nun löst man die klammern auf:
= [mm] \bruch{ax+ac-ax-b}{(x+c)^{2}} [/mm]
so nun kann werden dei zwei ax durch subtraktion weggemacht:
[mm] \bruch{ac-b}{(x+c)^{2}} [/mm]
wo soll nun der fehler ligen?
und wie geht nun die aufgabe weiter?
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Hallo dytronic,
> Naja, das ist doch dei Quotientenregel, schon
> zusammengefasst.
> wo is denn da der fehler?
>
> f(x): [mm]\bruch{ax+b}{x+c}[/mm]
>
> Ich kanns auch ausführlich nochmal hinschreiben
>
> f'(x): [mm]\bruch{a(x+c) - 1(ax+b)}{(x+c)^{2}}[/mm]
>
> so nun löst man die klammern auf:
>
> = [mm]\bruch{ax+ac-ax-b}{(x+c)^{2}}[/mm]
>
> so nun kann werden dei zwei ax durch subtraktion
> weggemacht:
>
> [mm]\bruch{ac-b}{(x+c)^{2}}[/mm]
>
> wo soll nun der fehler ligen?
ich kann beim besten Willen keinen Fehler finden.
> und wie geht nun die aufgabe weiter?
>
Gruß
MathePower
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Hallo dytronic,
> aber weiter komme ich nicht. war denn der weg bis jetzt
> richtig? inwiefern sagt mir die asymptote was
bei der Asymptote wird hier der Grenzwert für x gegen [mm]\pm\infty[/mm] betrachtet.
Betrachte also
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \;\frac{{a\;x\; + \;b}}
{{x\; + \;c}}\; = \; - 1[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 24.09.2005 | | Autor: | dytronic |
Hallo dytronic,
> aber weiter komme ich nicht. war denn der weg bis jetzt
> richtig? inwiefern sagt mir die asymptote was
bei der Asymptote wird hier der Grenzwert für x gegen [mm]\pm\infty[/mm] betrachtet.
Betrachte also
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \;\frac{{a\;x\; + \;b}}
{{x\; + \;c}}\; = \; - 1[/mm]
Gruß
MathePower
danke für diesen tipp, jedoch bringt mich das auch nicht weiter: denn egal was ich für x einsetze, ich weiss doch nicht was rauskommt, solange a und b nicht bestimmt sind... ich kann doch nicht testen wann -1 rauskommt, wenn da noch da noch unbekannte variablen sind.
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Hallo dytronic,
> Betrachte also
>
> [mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \;\frac{{a\;x\; + \;b}}
{{x\; + \;c}}\; = \; - 1[/mm]
>
> danke für diesen tipp, jedoch bringt mich das auch nicht
> weiter: denn egal was ich für x einsetze, ich weiss doch
> nicht was rauskommt, solange a und b nicht bestimmt sind...
> ich kann doch nicht testen wann -1 rauskommt, wenn da noch
> da noch unbekannte variablen sind.
das sollst Du nicht testen, indem Du verschiedene x- Werte einsetzt, sondern formal ausrechnen:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \;\frac{{a\;x\; + \;b}}
{{x\; + \;c}}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \;\frac{{a\; + \;\frac{b}
{x}}}
{{1\; + \;\frac{c}
{x}}}\; = \;a\; = \; - 1[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 So 25.09.2005 | | Autor: | dytronic |
das sollst Du nicht testen, indem Du verschiedene x- Werte einsetzt, sondern formal ausrechnen:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \;\frac{{a\;x\; + \;b}}
{{x\; + \;c}}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \;\frac{{a\; + \;\frac{b}
{x}}}
{{1\; + \;\frac{c}
{x}}}\; = \;a\; = \; - 1[/mm]
ok, du hast jetzt da also im letzten schritt durch x geteilt und dann alles was ein x im nenner hat weggelassen, aber wie kommst du auf a=-1 ?
mich wundert warum die 1 negativ ist. das geht doch gar nicht aus der aufgabe hervor oder?
wenn ich doch die x-variablen weglasse ( [mm] \bruch{b}{x} [/mm] und [mm] \bruch{c}{x} [/mm] ) , dann würde doch nur [mm] \bruch{a}{1} [/mm] bleiben und das ist doch dann 1. ich glaub, ich bin verwirrt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 So 25.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen dytronic!
Du darfst die Terme [mm] $\bruch{b}{x}$ [/mm] und [mm] $\bruch{c}{x}$ [/mm] daher einfach "weglassen", weil der Grenzwert für $x [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] hier jeweils 0 beträgt:
[mm] $\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{b}{x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{c}{x} [/mm] \ = \ 0$
Daher gilt auch: [mm] $\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{a+\bruch{b}{x}}{1+\bruch{c}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{a+0}{1+0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{1} [/mm] \ = \ a$
Gemäß Aufgabenstellung beträgt die Asymptotenfunktion aber: $y(x) \ =\ [mm] \red{-}1$
[/mm]
Daher gilt auch: [mm] $\limes_{x \rightarrow \infty}\bruch{a*x+b}{x+x} [/mm] \ = \ a \ = \ -1$
Nun klar(er) und Verwirrung etwas entwirrt ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 So 25.09.2005 | | Autor: | dytronic |
ja, das hab ich jetzt verstanden. DANKE.
wie gehts nun weiter? hmm, also wir haben jetzt für a=-1 und für c=-3
Nun muss ich b bestimmen. Ich habe ja bereits die erste Ableitung gebildet:
f'(x)= [mm] \bruch{ac-b}{(x+c)^{2}} [/mm]
so nun setze ich für x=1 ein, für c=-3 und die gleichung wird [mm] \bruch{1}{4} [/mm] gleichgestellt:
[mm] \bruch{-3a-b}{4}= \bruch{1}{4} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] -3a-b=0
[mm] \gdw [/mm] b=-3a
Da a=-1 ist setzte ich ich das bei b=-3a ein:
b=-3(-1)= 3
somit ist b=3
in der übersicht wären das die bestimmten parameter:
a=-1
b=3
c=-3
nun kann ich diese in die Ausgansgleichungeinsetzen:
[mm] \bruch{ax+b}{x+c} [/mm] -->
[mm] \bruch{-x+3}{x-3}
[/mm]
ist das so richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 25.09.2005 | | Autor: | dytronic |
aber kann ich nicht die einviertel mit dem kehrwert mal nehmen?
[mm] \bruch{-3a-b}{4}= \bruch{1}{4} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{-12a-4b}{4}= [/mm] 0
dann kürzen:
[mm] \gdw \bruch{-3a-b}{1}= [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] -3a-b= 0
oder wo liegt da nun mein rechenfehler?
und wenn es nach dir geht (was auch am wahrscheinlichsten ist  ), dann ist b:
-3a-b=1
[mm] \gdw [/mm] -3a=1+b
[mm] \gdw [/mm] -3a-1=b
nun richtig? und wo liegt mein fehler oben beim kehrwert und kürzen?
b=
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 So 25.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo dytronic!
> aber kann ich nicht die einviertel mit dem kehrwert mal
> nehmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Völlig richtige Idee ...
Und was ergibt dann [mm] $\bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{4}{1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*4}{4*1} [/mm] \ =\ ...$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 25.09.2005 | | Autor: | dytronic |
hä? wie komsmt du denn nun darauf dass es -3a-b=1 ist??
ich hab doch ein virtel mit dem kehrwert mal genommen, also steht doch rechts vom gleichheitszeichen eine NULL und keien eins.
ich teile doch durch ein-virtel, somit steht doch am ende ne null da...und null mal ein virtel sit null
ist b=2 richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 So 25.09.2005 | | Autor: | dytronic |
achso,
du meinst 1/4 bleibt und ich multipliziere das mit dem kehrwert. na klar, dann kommt 1 raus. ich dachte die ganze zeit wenn ich durch 1/4 teile streht rechts ne null.
somit ist b=2
und die endfunktion lautet:
f(x)= [mm] \bruch{-x+2}{x-3}
[/mm]
ist das nun richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 So 25.09.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo dytronic,
> und die endfunktion lautet:
>
> f(x)= [mm]\bruch{-x+2}{x-3}[/mm]
>
> ist das nun richtig?
Gruß
MathePower
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Quotientenregel
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es muss natürlich heißen: $-3a-b \ = \ [mm] \red{1}$
[/mm]