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| Aufgabe | | Ich verstehe folgenden Beweis nicht und befinde ich mich auf dem falschen Weg eine Aufgabe zu lösen |
Satz: Für jede pos. reelle Zahl t gilt die Grenzwertaussage [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] P( [mm] X_{n} [/mm] ) [mm] \le \wurzel{n} [/mm] t ) = 1- [mm] $e^{-t^{2}/2}$
[/mm]
Der Beweis zu diesem Satz, steht auf den Seiten 72 und 73 im Buch von Norbert Henze, Stochastik für Einsteiger
Dazu will ich die Aufgabe lösen welches k gewählt werden muss damit die Wahrscheinlichkeit bei n=365 0,9 ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Mi 13.09.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo und guten Morgen,
nicht jeder hat das von Dir genannte Buch zur Hand - ich zB nicht. Schreib doch bitte daher einfach den Satz komplett ab - inclusive
der Voraussetzungen an die [mm] X_n [/mm] .
Ein k kommt in dem so von Dir zitierten Satz nicht vor, was soll das also sein ?
Ich vermute mal, der satz hat etwas mit Tail Inequalities zu tun, [mm] (X_n) [/mm] deutet auf einen stochastischen Prozess hin.
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mi 13.09.2006 | | Autor: | JannisCel |
| Aufgabe | k ist die Anzahl der Versuche, bis eine Wiederholung auftritt,
[mm] X_{n} [/mm] :=Zeitpunkt der ersten Kollision beim sukzessiven rein zufälligen Besetzen von n Fächern.
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Daraus folgt [mm] P($X_{n} \le [/mm] k$) = 1 - [mm] \produkt_{i=1}^{k-1}(1-i/n)
[/mm]
Das sind die Info's die ich habe.
Jetzt der Satz, dessen Beweis mir Schwierigkeiten macht
Für jede positive reelle Zahl t gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P($X_{n} \le \wurzel[2]{n}t$) [/mm] = 1 - [mm] e^{t^{2}/2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 13.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Du kannst zunächst mal
$$P( [mm] X_{n} \leq [/mm] k ) = 1 - [mm] \prod\limits_{i=1}^{k-1} \left(1-\frac{i}{n}\right) [/mm] = [mm] 1-\frac{n!}{(n-k)!n^k}$$
[/mm]
umformen. Für große [mm]m[/mm] kann man nun die Stirling-Formel [mm]m! = \sqrt{2\pi m}\cdot m^m\cdot \exp\left\{-m+O\left(\frac{1}{m}\right)\right\}[/mm] zum Einsatz bringen, im vorliegenden Fall für [mm]m=n[/mm] und für [mm]m=n-k=n-\sqrt{n}t[/mm]. Mit sorgfältigen Umformungen und Grenzwertbetrachtung [mm]n\to\infty[/mm] kommt man dann auf dein Resultat.
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