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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Gedämpfte Schwingung
Gedämpfte Schwingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Di 11.12.2012
Autor: Basser92

Aufgabe
Gegeben sei die Differentialgleichung [mm] x''+2\gamma x'+\omega_{0}^{2}x=0 [/mm] mit [mm] \gamma [/mm] , [mm] \omega_{0}>0. [/mm]
a) Zeigen Sie, dass der Ansatz [mm] x(t)=a*e^{kt} [/mm] die Gleichung löst und bestimmen Sie die möglichen Werte für k.
b) Zeigen SIe, dass es drei unterschiedliche Fälle geben kann (Schwingung, aperiodischer Grenzfall, Dämpfung) und bestimmen Sie ein Kriterium wann diese Fälle zutreffen.

Wie zeige ich, dass Der Ansatz die Gleichung löst? Die Werte für k habe ich schon bestimmt. Und wie komme ich dann auf die verschiedenen Fälle? Hab da leider in den Vorlesungsmitschriften nichts gefunden...

        
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Gedämpfte Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:45 Di 11.12.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> Gegeben sei die Differentialgleichung [mm]x''+2\gamma x'+\omega_{0}^{2}x=0[/mm]
> mit [mm]\gamma[/mm] , [mm]\omega_{0}>0.[/mm]
>  a) Zeigen Sie, dass der Ansatz [mm]x(t)=a*e^{kt}[/mm] die Gleichung

Dann bilde doch mal die Ableitungen von $x(t)$ und setzte das in deine Differenzialgleichung ein.

Weiterhin solltest du die Nullstellen der entstehenden Gleichung Betrachten und diese interpretieren.





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Bezug
Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Di 11.12.2012
Autor: Basser92

Als nullstellen hab ich jetzt [mm] t=\bruch{ln(ak^{2}+2\gamma ak+\omega_{0}^{2}a)}{k}. [/mm]
Wenn es für alle t Null sein muss, muss [mm] k=-\gamma \pm \wurzel{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}} [/mm] sein, was ich ja schon berechnet hatte. Aber ich weiß net, was mir das alles jetzt sagen soll...

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Gedämpfte Schwingung: komplexe Nullstellen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Di 11.12.2012
Autor: Helbig


> Als nullstellen hab ich jetzt [mm]t=\bruch{ln(ak^{2}+2\gamma ak+\omega_{0}^{2}a)}{k}.[/mm]
>  
> Wenn es für alle t Null sein muss, muss [mm]k=-\gamma \pm \wurzel{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}[/mm]
> sein, was ich ja schon berechnet hatte. Aber ich weiß net,
> was mir das alles jetzt sagen soll...

Hallo Basser92,

Deine beiden Nullstellen des charakteristischen Polynoms [mm] $k^2 [/mm] + [mm] 2\gamma [/mm] k [mm] +\omega_0^2$ [/mm] sind für [mm] $\gamma^2 \ge \omega_0^2$ [/mm] richtig bestimmt. Andernfalls hast Du die komplexen Nullstellen [mm] $k=-\gamma \pm i\sqrt {\omega_0^2 - \gamma^2}\,.$ [/mm]

Untersuche jetzt das Lösungsverhalten getrennt nach den drei Fällen

    [mm] $\gamma^2 [/mm] < [mm] \omega_0^2$, $\gamma^2 [/mm] = [mm] \omega_0^2$ [/mm] und [mm] $\gamma^2 [/mm] > [mm] \omega_0^2\,.$ [/mm]

Grüße,
Wolfgang


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Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Di 11.12.2012
Autor: Basser92

Ich hab doch gar keine komplexen Nullstellen, wenn [mm] \gamma [/mm] und [mm] \omega_{0} [/mm] größer als 0 sind, wie es in der Aufgabenstellung steht?

Edit: Sorry, verlesen... Jetzt hab ich ja wieder was zum rechnen^^ Ich meld mich dann nochmal, wenn ich nicht mehr weiter komm ;)

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