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Forum "komplexe Zahlen" - Gedämpfte Schwingung
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Gedämpfte Schwingung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 30.10.2013
Autor: Hiasto

Aufgabe
-

Diese Frage wurde sonst in keinem Forum gestellt.

Hallo,
ich habe 2 Fragen zu gedämpften Schwingungen bei den komplexen Zahlen. Wieso stellt man die Differentialgleichung auf?
m*a(t) + k*v(t) +D*x(t) = 0
Ist das ein Energieerhaltungssatz? Was ist die Ausgangsüberlegung? Wäre super wenn die Anwort genauer wäre^^.

Als 2. Frage habe ich bei einer Umformung ein Problem.
Wie forme ich das hier um?

z(t)=A*e^[(-k/2m)*t +- i sqrt(D/m - (k²/4m²))]*t
zu:
z(t) = A*e^(-k/2m)*cos (sqrt(D/m - (k²/4m²)*t)

Vielen Dank im Vorraus :)

        
Bezug
Gedämpfte Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Mi 30.10.2013
Autor: chrisno


> -
>  Diese Frage wurde sonst in keinem Forum gestellt.
>  
> Hallo,
>  ich habe 2 Fragen zu gedämpften Schwingungen bei den
> komplexen Zahlen. Wieso stellt man die
> Differentialgleichung auf?
>  m*a(t) + k*v(t) +D*x(t) = 0
>  Ist das ein Energieerhaltungssatz? Was ist die
> Ausgangsüberlegung? Wäre super wenn die Anwort genauer
> wäre^^.

Das ist die sogenannte Bewegungsgleichung. Da steckt zum einen drin, dass die Geschwindigkeitsänderung, also Beschleunigung a(t), eines Körpers durch einwirkende Kraft und Masse bestimmt ist: F = m a. Die Kräfte sind zum einen die Rückstellkraft, die proportional mit der Auslenkung den Körper zur Ruhelage zurück zieht [mm] $F_{Rück} [/mm] = -D x(t)$. Ohne sonstige Zutaten ergibt sich so eine sinusförmige Schwingung. Die andere Kraft ist dämpfend wirkende geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft [mm] $F_{Reibung} [/mm] = - k v(t)$
Damit ist auch klar, dass dies nicht der Energieerhaltungssatz ist, weil die bei der Reibung abgehende Energie nicht mehr in der Gleichung auftaucht.

>  
> Als 2. Frage habe ich bei einer Umformung ein Problem.
>  Wie forme ich das hier um?
>  
> z(t)=A*e^[(-k/2m)*t +- i sqrt(D/m - (k²/4m²))]*t
>  zu:
>  z(t) = A*e^(-k/2m)*cos (sqrt(D/m - (k²/4m²)*t)

Ich versuche mal das zu setzen:
[mm] $z(t)=A*e^{(-k/2m)*t \pm i \sqrt{D/m - (k^2/4m^2)}}*t$ [/mm]
$z(t) = [mm] A*e^{-k/2m}*\cos (\sqrt{D/m - (k^2/4m^2)*t})$ [/mm]
Kontrolliere dies bitte.

>  
> Vielen Dank im Vorraus :)

ein r reicht

Bezug
                
Bezug
Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Mi 30.10.2013
Autor: Hiasto

Hallo,
danke für die schnelle Antwort :).
Zu meiner ersten Frage:
Ok ich weiß nun das es die Bewegungsgleichung ist. Kannst du das etwas genauer beschreiben wie ich auf diese Gleichung kommen muss bzw. warum?

Zu 2.:
Die Gleichung ist soweit richtig außer das t am Schluss. Dieser ist auch im exponenten also direkt nach der Wurzel *t.
Bei der 2. Gleichung ist das letzte t zwar im cosinus aber nicht in der Wurzel.

Sorry ich bin nicht sicher wie der Editor hier funktioniert sonst hätte ich es direkt selbst so geschrieben :).

Danke im Vorraus :)


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Bezug
Gedämpfte Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Mi 30.10.2013
Autor: chrisno


> Hallo,
>  danke für die schnelle Antwort :).
>  Zu meiner ersten Frage:
>  Ok ich weiß nun das es die Bewegungsgleichung ist. Kannst
> du das etwas genauer beschreiben wie ich auf diese
> Gleichung kommen muss bzw. warum?

Ich dachte, das hätte ich geschrieben. Es fehlte nur noch $F = [mm] F_{Rück} [/mm] + [mm] F_{Reibung}$ [/mm]

>
> Zu 2.:
>  Die Gleichung ist soweit richtig außer das t am Schluss.
> Dieser ist auch im exponenten also direkt nach der Wurzel
> *t.
>  Bei der 2. Gleichung ist das letzte t zwar im cosinus aber
> nicht in der Wurzel.

$ [mm] z(t)=A\cdot{}e^{(-k/2m)\cdot{}t \pm i \sqrt{D/m - (k^2/4m^2)}\cdot{}t} [/mm] $
$ z(t) = [mm] A\cdot{}e^{-k/2m}\cdot{}\cos (\sqrt{D/m - (k^2/4m^2)}\cdot{}t) [/mm] $
Also so? Fehlt da nicht noch ein t bei der Exponentialfunktion in der zweiten Zeile?

>  
> Sorry ich bin nicht sicher wie der Editor hier funktioniert
> sonst hätte ich es direkt selbst so geschrieben :).

Schieb den Mauszeiger auf eine Formel.

Nun zu Deinem Anliegen. Das Verständnis wird dadurch erschwert, dass nicht die allgemeine Lösung der Differentialgleichung angegeben wird, es sei denn, mit dem [mm] $\pm$ [/mm] soll auf zwei Lösungen hingewiesen werden. Konkret wird hier der Realteil der komplexen Lösung genommen. Dieser löst die Differentialgleichung für die Anfangswerte x(0) = A und v(0) = 0, also den Fall, dass der Schwinger aus einer Startposition losgelassen wird. Du könntest ihn auch mit dem Hammer aus der Ruhelage schlagen. Dann wären x(0) = 0 und v(0) = ... Anfangswerte, zu denen der Imaginärteil der Lösung passt. Alle anderen Startbedingungen kannst Du mit einer Linearkombination dieser beiden Lösungen lösen.

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Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Mi 30.10.2013
Autor: Hiasto

Hallo,
danke nochmals für die Antwort.
Also zum wiederholen:
Die Bewegungsgleichung besteht aus 3 Komponenten:
Die beschleunigende Kraft, die Reibungskraft und die Rückstellkraft. Diese 3 müssen als Summe 0 ergeben, da sie ein geschlossenes System bilden. Richtig?

Zur 2. Frage:
Die Formel die du aufgeschrieben hast ist richtig.
Es macht Sinn wenn hier nur der Realteil benutzt wird dann ist es für mich verständlicher.
Zu deiner Frage ob da noch ein t fehlt:
du meinst bei z(t)=A*e(-k/2m)*t, ob das hier nicht t² sein sollte?
Das wollte ich dich auch fragen denn ich habe es so abgetippt vom Buch. Was ist hier richtig?

Desweiteren:
Wenn der Realteil verwendet wurde, wurde im Grunde folgendes gemacht:
$ z(t) = [mm] A\cdot{}e^{-k/2m}\cdot{}\cos (\sqrt{D/m - (k^2/4m^2)}\cdot{}t) [/mm] $
dahinter würde noch stehen +- i *sin (sqrt(D/m-k²/4m²)*t) oder?
Da wir nur den Realteil betrachten wird der imaginäre Teil, also das +-i*sin... einfach gestrichen.
Ist das so richtig?

Vielen Dank im Vorraus :)



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Gedämpfte Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mi 30.10.2013
Autor: chrisno


> ... Die Bewegungsgleichung besteht aus 3 Komponenten:
>  Die beschleunigende Kraft, die Reibungskraft und die
> Rückstellkraft. Diese 3 müssen als Summe 0 ergeben, da
> sie ein geschlossenes System bilden. Richtig?

Nein: die den Körper beschleunigende Kraft ergibt sich aus der Summe der beiden anderen.
Irgendwie muss das F in F = ma bestimmt werden. Die Bedingungen des Systems, Rückstellkraft und Reibung, sagen wie.

>  
> Zur 2. Frage:
>  Die Formel die du aufgeschrieben hast ist richtig.
>  Es macht Sinn wenn hier nur der Realteil benutzt wird dann
> ist es für mich verständlicher.
>  Zu deiner Frage ob da noch ein t fehlt:
>  du meinst bei z(t)=A*e(-k/2m)*t, ob das hier nicht t²
> sein sollte?
>  Das wollte ich dich auch fragen denn ich habe es so
> abgetippt vom Buch. Was ist hier richtig?

Dann ist wohl ein Fehler im Buch.

>  
> Desweiteren:
>  Wenn der Realteil verwendet wurde, wurde im Grunde
> folgendes gemacht:
>  [mm]z(t) = A\cdot{}e^{-k/2m}\cdot{}\cos (\sqrt{D/m - (k^2/4m^2)}\cdot{}t)[/mm]

[mm]z(t) = A\cdot{}e^{-(k/2m) {\red t}}\cdot{}\cos (\sqrt{D/m - (k^2/4m^2)}\cdot{}t)[/mm]
Sonst nimmt die Amplitude nicht mit der Zeit ab!

>  
> dahinter würde noch stehen +- i *sin
> (sqrt(D/m-k²/4m²)*t) oder?
>  Da wir nur den Realteil betrachten wird der imaginäre
> Teil, also das +-i*sin... einfach gestrichen.
> Ist das so richtig?

ja


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Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Mi 30.10.2013
Autor: Hiasto

Danke nochmals für deine Mühen :).
Ich habe da noch eine Frage:
Kannst du etwas verständlich erklären warum es reicht nur den Realteil zu betrachten? Bzw. wozu dient der imaginäre?

Bezug
                                                        
Bezug
Gedämpfte Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Mi 30.10.2013
Autor: leduart

Hallo
eigentlich reicht es nicht nur den Realteil zu betrachten.
Aber eine lineare Dgl. 2 ter Ordnung hat immer ein System von 2 lin unabh, Lösungen,
hier [mm] x1(t)=Ae{-rt}*e^{-i*\omega*t} [/mm]
und [mm] x:2(t)=Be{-rt}*e^{+i*\omega*t} [/mm]
jede Linearkombination ist wieder eine Lösung, dabei kommen dann zBwieder 2 lin inabh. Lösungen [mm] :x1=a*e^{-rt}*sin(\omega*t) [/mm]
und           [mm] x2=b*e^{-rt}*cos(\omega*t) [/mm]
raus, wieder jede Linearkombination eine Lösung.
/du kannst zur Bestätigung ja beide in die DGL einsetzen.
die allgemeine Lösung ist dann x1+x2
nur damit kannst du durch Bestimmung von a und b beliebige Anfangsbed, erfüllen. Da die ofr [mm] x(0)=x_0, [/mm] x'(0)=0 sind folgt dann [mm] a=x_0 [/mm] b=0
bei x(0)=0 und [mm] x'(0)=v_0 [/mm] folgt dagegen a=0,  [mm] b=v_0*\omega [/mm]
usw.
Die komplexe Rechnung wählt man nur, weil der Ansatz [mm] x=(Asin(\omega*t)+B*cos(˜omega*t))*e^{\alpha*t} [/mm] sehr viel mühsamer zu dem [mm] \omega [/mm] und [mm] \alpha [/mm] führt, du kannst es ja mal ausprobieren!
Gruss leduart


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Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Fr 08.11.2013
Autor: Hiasto

Hi Leute :),
danke für die ganze Hilfe hat mir echt super weitergeholfen :).
Eine Frage hätte ich noch.
Ich möchte (bzw. habe) den Realteil der gedämpften Schwingung benutzt um die Schwingung zu zeichnen, unswar ins Karthesische Koosystem. Hier bin ich mir bei den Benennungen der Achsen nicht ganz sicher, die waagrechte Achse heißt t-achse, wie genau soll ich die senkrechte Achse nennen?
Danke

Bezug
                                                                        
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Gedämpfte Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Fr 08.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi Leute :),
>  danke für die ganze Hilfe hat mir echt super
> weitergeholfen :).
>  Eine Frage hätte ich noch.
>  Ich möchte (bzw. habe) den Realteil der gedämpften
> Schwingung benutzt um die Schwingung zu zeichnen, und zwar
> ins Kartesische Koosystem. Hier bin ich mir bei den
> Benennungen der Achsen nicht ganz sicher, die waagrechte
> Achse heißt t-achse, wie genau soll ich die senkrechte
> Achse nennen?
>  Danke

Kommt drauf an, was du wirklich aufzeichnen willst.
Wenn du die DGL gelöst hast und also eine Formel
für  x(t)  hast, ist natürlich die zweite Achse die x-Achse.

Natürlich kannst du z.B. auch den Geschwindigkeitsverlauf
in einem  t-v - Diagramm aufzeichnen.

LG ,   Al-Chw.




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Gedämpfte Schwingung: physikalische Motivation
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Fr 08.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Wieso stellt man diese Differentialgleichung auf?

>      m*a(t) + k*v(t) +D*x(t) = 0


Hallo Hiasto,

diese Differentialgleichung ist die Bewegungsgleichung
für einen Massepunkt, der sich entlang einer Geraden
mit einer x-Skala bewegt, und zwar unter 3 möglichen
Kraftwirkungen, welche alle in x-Richtung wirken.
Je eine dieser Kraftkomponenten ist zum Zeitpunkt t
proportional zur momentanen Beschleunigung a(t),
zur momentanen Geschwindigkeit v(t) bzw. zur
momentanen Lagekoordinate x(t).

Mit dieser DGL kann man demnach sehr viele Bewegungs-
vorgänge beschreiben wie z.B. den freien Fall, den durch
einen geschwindigkeitsproportionalen Widerstand gebremsten
Fall, oder allenfalls dieses zusammen etwa mit einer
Federkraft, welche von der jeweiligen Lage x(t) und
einer Federkonstanten D bestimmt ist. Die DGL liefert
also ein ziemlich reichhaltiges mathematisches Modell
für einige der wichtigsten (und doch noch einfach
beschreibbaren) Bewegungen in einer Dimension.
Beispielsweise lässt sich aber der freie Fall mit Luft-
widerstand schon wieder nicht mehr durch diese DGL
beschreiben, weil dieser auch vom Quadrat der Geschwin-
digkeit abhängig wäre.

LG ,   Al-Chw.  



Bezug
                
Bezug
Gedämpfte Schwingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Fr 08.11.2013
Autor: Hiasto

Hallo :),
danke für die Antwort. Es geht um ein Federpendel. Die Funktion die entsteht durch das lösen deiner differentialgleichung, dessen Realteil habe ich benutzt um die gedämpfte schwingung zu beschreiben. Und die Funktion heißt z(t). Deswegen bin ich mir unsicher wie ich die y-Achse nennen soll. Die x-achse habe ich t genannt.
Danke

Bezug
                        
Bezug
Gedämpfte Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Fr 08.11.2013
Autor: leduart

Hallo
wenn die fkt z(t) heisst sollte eigentlich klar sein, dass die fkt. die  Werte von z gibt, die von der Zeit abhängen, also z-Achse nach oben, t Achse nach rechts.
Wenn du nur den Realteil der Lösung benutzt hast, heisst das den cos nimmst ,  du hast also  als anfangsbedingung Anfangsbedingung gegeben (oder gewählt)  z(0)= A
Gruss leduart

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