Gegenseite Lage von Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind O,P,Q,R. Zeigen Sie:
a) Die Geraden [mm] g:\vec{x}=(\vec{p}+\vec{q})+r(\vec{q}-\vec{r}) [/mm] und [mm] h:\vec{x}=s(\vec{q}+\vec{r}) [/mm] sind zueinander windschief
b) Die Geraden [mm] g:\vec{x}=(\vec{p}+\vec{q})+r(\vec{q}-\vec{r}) [/mm] und [mm] h:\vec{x}=s(\vec{q}+\vec{r}) [/mm] schneiden sich |
Hey Leute,
Ich schreib morgen ne Arbeit und hab aber noch ein paar kleine Wissenlücken..diese Aufgabe haben wir noch nicht besprochen aber wir sollten versuchen sie alleine zulösen.
Also ich hab g und h gleichgesetzt und dann die Vektoren ausgeklammert, sodass ich jeweils erstmal bei a) und b) auf Folgendes komme.
[mm] \vec{p}+\vec{q}(1+r-s)+\vec{r}(-r-s)
[/mm]
Nur wie unterscheide ich jetzt auf die Kriterien(windschief/nicht windschief), irgendwie weiss ich garnicht was ich machen muss jetzt. Hm könnte jemand mir vielleicht helfen? Das allgemeine Kriterium wäre ja, dass sie nicht in einer Ebene liegen würde, wenn sie windschief wären aber wie zeig ich dass?
Danke schon mal.^^
Mfg Daniel
|
|
| |
|
Hi, Blaubeere,
> Die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind O,P,Q,R.
> Zeigen Sie:
> a) Die Geraden
> [mm]g:\vec{x}=(\vec{p}+\vec{q})+r(\vec{q}-\vec{r})[/mm] und
> [mm]h:\vec{x}=s(\vec{q}+\vec{r})[/mm] sind zueinander windschief
> b) Die Geraden
> [mm]g:\vec{x}=(\vec{p}+\vec{q})+r(\vec{q}-\vec{r})[/mm] und
> [mm]h:\vec{x}=s(\vec{q}+\vec{r})[/mm] schneiden sich
Also im Prinzip sollst Du entscheiden, ob die beiden windschief sind oder ob sie sich schneiden.
Zunächst musst Du zeigen, dass sie nicht parallel sind. - Das geht wohl recht schnell.
> Also ich hab g und h gleichgesetzt und dann die Vektoren
> ausgeklammert, sodass ich jeweils erstmal bei a) und b) auf
> Folgendes komme.
>
> [mm]\vec{p}+\vec{q}(1+r-s)+\vec{r}(-r-s)[/mm]
natürlich noch "= [mm] \vec{o} [/mm] " sonst OK!
Und nun ist entscheidend, dass die drei Vektoren [mm] \vec{p}, \vec{q} [/mm] und [mm] \vec{r} [/mm] als Kantenvektoren einer dreiseitigen Pyramide linear UNabhängig sind, dass demnach die 3 Konstanten vor diesen Vektoren alle drei =0 sein müssen.
Das führt offensichtlich zu einem Widerspruch.
Was folgt aus diesem Widerspruch?
Hättest Du r und s berechnen können, so hättest Du einen Schnittpunkt ausrechnen können.
Da Du das nicht kannst, bleibt als Folgerung nur: Es gibt keinen Schnittpunkt; also sind die beiden Geraden windschief!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
