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Gegenseitige Lage von Ebenen: Ideenlos
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mi 22.03.2006
Autor: serralath

Aufgabe
Bestimmen Sie a, b, c  [mm] \in \IR [/mm] in g: x=  [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] - r [mm] \pmat{ 7 \\ a \\ b}, [/mm] E: x = [mm] \pmat{ c \\ 1 \\ 0 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 1 \\ 3 \\ 5 } [/mm] + t [mm] \pmat{ -1 \\ 9 \\ 3 } [/mm] so, dass gilt:

a) g liegt in E

b) g ist parallel zu E, liegt aber nicht in E

c) g schneidet E.

Hallo, ich komme einfach nicht auf die Lösung dieser Aufgabe, die lautet:

a) 2a-3b = -63 und c=0

b) 2a - 3b = -63 und c [mm] \not= [/mm] 0

c) 2a - 3b [mm] \not= [/mm] 63

Ich habe versucht die Gerade mit der Ebene gleichzusetzen und nach r aufzulösen, aber das brachte nur Frust mit sich.

Ich hoffe jemand kann mir so schnell wir möglich helfen. Morgen Klausur. .___.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gegenseitige Lage von Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Mi 22.03.2006
Autor: Zwerglein

Hi, serralath,

um Dir wirklich helfen zu können, müsste ich wissen, ob Dir der Begriff "Determinante" was sagt!

Wenn ja, dann gehst Du so vor:
(1) Für a) und b) müss die Determinante der 3 Richtungsvektoren (der Geraden und der Ebene) gleich 0 sein.
(2) Für a) muss dann auch noch die Determinante =0 sein, in die Du die Richtungsvektoren der Ebene und den Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte eingesetzt hast; bei b) darf diese Determinante genau nicht =0 sein.
(3) Und bei c) darf schon die unter (1) berechnete Determinante nicht =0 sein. (Übrigens muss es hier bei Deiner Lösung heißen: 2a - 3b [mm] \not= [/mm] -63)

Melde Dich aber nochmals, wenn Du den Begriff "Determinante" nicht kennst!
Zusatzfrage für diesen Fall:
Kennst Du wenigstens das Vektorprodukt (=Kreuzprodukt)?

mfG!
Zwerglein

Bezug
        
Bezug
Gegenseitige Lage von Ebenen: andere Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Mi 22.03.2006
Autor: Schlurcher

Ich will es einmal mit einer anderen Lösungsidee versuchen.

Ich werde nur Aufgabe a) rechnerisch lösen. Die restlichen sind dann klar.

zu a):
Damit g in E liegt muss einerseits der Stützvektor von g in E enthalten sein, d.h.  [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] = [mm] \pmat{ c \\ 1 \\ 0 } [/mm] + s [mm] \pmat{ 1 \\ 3 \\ 5 } [/mm] + t [mm] \pmat{ -1 \\ 9 \\ 3 }. [/mm] Dies sind drei Gleichungen mit drei Unbekanten. Durch auflösen erhälst du c = 0.

Weiterhin muss der Richtungsvektor von g zusammen mit den Richtungsvektoren von E in einer Ebene sein. Dazu enpfehlen sich die Determinanten, wie mein Vorredner erläutert hat. Die Determinatengleichung sollte 2a-3b = -63 liefern.

zu b).
g liegt parallel zu E, wenn der Stützvektor nicht in E liegt, aber der Richtungsvektor von g zusammen mit den Richtungsvektoren von E in einer Ebene liegen. Gem. a) also 2a - 3b = -63 und c [mm] \not= [/mm] 0

zu c):
Geraden und Ebenen können im dreidimensionalen Raum sich nur schneiden oder parallel liegen. Also schneiden sie sich   genau dann , wenn sie nicht parallel liegen. Also 2a - 3b [mm] \not= [/mm] 63

Grüße Schlurcher

Bezug
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