Gegenseitige Lage von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:03 Di 28.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
| Aufgabe | Unterscuhe die gegenseitige Lage der Ebenen E1 und E2. Bestimme gegebenenfalls eine Gleichung vin einer Schnittgeraden
[mm] E1:\vektor{4 \\ 1\\1}+r1 \vektor{1 \\ 0\\5}+ s1\vektor{-2 \\ 3\\7}
[/mm]
[mm] E2:\vektor{-8 \\ 13\\9}+r2 \vektor{-8 \\ 1\\5}+ s2\vektor{2 \\ 1\\-4} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Habe viele solcher aufgabe als HA und würde gerne wissen ob es da so eine Art schema geht, nachdem man das rechnen kann'? und anhand dieses Beispiels dann rechnet?
z.B.
1.)Überprüfen ob eine linearität besteht!
(also welche vektoren gleichsetzen?)
Wie berechne ich dann die schnittgerade? (in welchem ablauf?) und was bringt die mir?
Würde mich wirklich freuen, wenn mir das jemand erkären könnte!!!!
DANKE schonma!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
hallöchen, mag mir denn keiner helfen`? ich hab inzwischen schon mal rausbekommen, dass sie nicht linear abhängig sind, da:
[mm] \vektor{1\\ 0\\5}=a\vektor{8 \\ 1\\5}+b\vektor{2 \\ 1\\4}
[/mm]
Ist, dann:
1=-8a+2b
0=a+b+b
5=5a-4b
1=-8a+2b
-b=a
5=5a-4b
---
so aber wie nun weiter und wie errechne ich dann sie schnittgeraden? bitte bitte helft mir....
*traurig.*
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
Sorry, aber inzwischen bin ich verzweifelt...
ich dachte dann vllt. gleichsetzen der beiden ebenen? ..
aber was sind denn die schnittgeraden und wie berechne ich die`?
BIIIIITTTTEEE HELFT MIR:.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Gully |
Das kommt darauf an, wie die Ebenen gegeben sind. (Ich weiß nicht, welche Darstellungen ihr schon hattet... wahrscheinlich Parameterform, Normalenform oder Koordinatenform. Aber sagen wir mal, Parameterform.)
Gleichsetzen ist richtig!
Du hast die zwei Ebenengleichungen, jeweils mit Stützvektor und zwei Spannvektoren. Beim Gleichsetzen kriegst du ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen und vier Unbekannten. (Drei Komponenten stehen in jedem Vektor, also ist z.b. immer der oberste Eintrag die erste Gleichung. Und jede Ebene bringt zwei Parameter mit, also vier Unbekannte).
Das ist nicht ganz einfach zu lösen, aber möglich. Normalerweise reicht ganz viel Auflösen und Einsetzen. Am Ende bleibt (hoffentlich) nur eine Unbekannte über, und eine Schnittgerade sollte ja auch einen Parameter haben.
Oder als alternativen Weg könnte man zwei Punkte "erraten", die auf beiden Ebenen liegen. Dann ist einer der Stützvektor und die Differenz is der Richtungsvektor der Schnittgeraden.
Am besten, du schreibst hier die Aufgabe mal rein, dann kann man dir sicher besser helfen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
$ [mm] E1:\vektor{4 \\ 1\\1}+r1 \vektor{1 \\ 0\\5}+ s1\vektor{-2 \\ 3\\7} [/mm] $
$ [mm] E2:\vektor{-8 \\ 13\\9}+r2 \vektor{-8 \\ 1\\5}+ s2\vektor{2 \\ 1\\-4} [/mm] $
sooo...also ..ich hab jetzt wirklich alles noch weiter versucht...nun also..gleichsetzen (klingt ja einfach..is es abber nicht**G)
[mm] \vektor{4 \\ 1\\1}+r1 \vektor{1 \\ 0\\5}+ s1\vektor{-2 \\ 3\\7} =\vektor{-8 \\ 13\\9}+r2 \vektor{-8 \\ 1\\5}+ s2\vektor{2 \\ 1\\-4}
[/mm]
also:
4+r1-2s1=-8-8r2+2s2
1+3s1=13+s2+r2
1+5r1+7s1=9+5r2-4s2
und nun müsste ich ja alle buchstaben nacheinander ausrechnen..
hab da: r2=-12-s2+3s1??
bitte, helft mir doch weiter (bzw. korrogiert mich...) das is echt schwer..und später dann durch r2 einsetzen die schnittgerade finden?ö-..
soooo bittttteee ich brauche hilfe..
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Hallo Toyah21,
aus
[mm]E1:\vektor{4 \\ 1\\1}+r1 \vektor{1 \\ 0\\5}+ s1\vektor{-2 \\ 3\\7}[/mm]
und
[mm]E2:\vektor{-8 \\ 13\\9}+r2 \vektor{-8 \\ 1\\5}+ s2\vektor{2 \\ 1\\-4}[/mm]
erhältst du durch Gleichsetzen dieses Gleichungssystem:
[mm] $4_{}$ +r_1 -2s_1 [/mm] = [mm] $-8_{}$ -8r_2 +2s_2
[/mm]
[mm] $1_{}$ +3s_1 [/mm] = [mm] $13_{}$ +r_2 +s_2
[/mm]
[mm] $1_{}$+5r_1 +7s_1 [/mm] = [mm] $9_{}$ +5r_2 -4s_2
[/mm]
Du musst es jetzt (irgendwie) schaffen, aus den drei Gleichungen für vier Unbekannte zuerst zwei Gleichungen für drei Unbekannte und dann eine Gleichung für zwei Unbekannte zu machen.
Es lohnt sich hier immer, die Gleichungen genauer anzuschauen. Die zweite Gleichung enthält diesmal kein [mm] r_1, [/mm] wenn du also beispielsweise die erste Gleichung nach [mm] r_1 [/mm] auflöst
[mm] r_1= $-12_{}$ +2s_1 -8r_2 +2s_2
[/mm]
und das in die dritte Gleichung einsetzt
[mm] $1_{}$ +5\cdot($-12_{}$ +2s_1 -8r_2 +2s_2) +7s_1 [/mm] = [mm] $9_{}$ +5r_2 -4s_2
[/mm]
hast du zwei Gleichungen mit denen du weiterarbeiten kannst.
[mm] $1_{}$ +3s_1 [/mm] = [mm] $13_{}$ +r_2 +s_2
[/mm]
[mm] $-59_{}$ +17s_1 [/mm] = [mm] $9_{}$ +45r_2 -14s_2
[/mm]
Nachdem wir zuerst [mm] r_1 [/mm] aus den Gleichungen eliminiert haben, MÜSSEN wir jetzt [mm] s_1 [/mm] wegbekommen, damit eine Gleichung mit [mm] r_2 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] übrig bleibt. Das machen wir am besten ohne Auflösen nach [mm] s_1, [/mm] denn dann würden wir Drittel oder Siebzehntel bekommen.
Stattdessen benutzen wir einen anderen Trick: oben haben wir [mm] 3s_1 [/mm] , unten sind es [mm] 17s_1 [/mm] . Wenn wir jetzt die obere Gleichung mit 17 multiplizieren und die untere mit 3, dann haben wir zwei Gleichungen mit jeweils [mm] 51s_1 [/mm] . Das machen wir jetzt...
[mm] $17_{}$ +51s_1 [/mm] = [mm] $221_{}$ +17r_2 +17s_2
[/mm]
[mm] $-177_{}$ +51s_1 [/mm] = [mm] $27_{}$ +135r_2 -42s_2
[/mm]
Durch diesen Trick können wir [mm] s_1 [/mm] rauswerfen, indem wir die Gleichungen von einander abziehen.
[mm] $194_{}$ [/mm] = [mm] $194_{}$ -118r_2 +59s_2
[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm] 118r_2=59s_2 [/mm] , also [mm] 2r_2=s_2 [/mm] .
Das bedeutet, dass es eine Schnittgerade gibt. Man bekommt sie, indem man in der Parameterform der Ebene [mm] E_2 [/mm] die Unbekannte [mm] s_2 [/mm] durch [mm] 2r_2 [/mm] ersetzt.
Kannst du diese Rechnung nachvollziehen? Wenn ja, kannst du die Schnittgerade angeben?
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Toyah21 |
VIELEN VIELEN DANK!!!
endlich ist der groschen gefallen..*puh*...echt klasse und meine schnittgerade
g:x= [mm] \vektor{-8\\ 13\\9}+t \vektor{-4 \\ 3\\-3}
[/mm]
Hoffentlich ist das richtig, wenn ja hab ichs endlcih verstanden!!
DANKE nochmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Do 30.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toyah!
Dieses Ergebnis habe ich auch erhalten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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