Gegenseitige Lage von Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Anjin |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Lage der Ebenen E1 mit E1: -2 x1 + x2 + x3 = 5 und E2.
a) E2: 2 x1 - x2 - x3 = 1 b)E2: 5 x1 + 2 x2 + x3 = -6
c) E2: 4 x2 + 5 x3 = 20 |
Für die Aufgabe brauche ich Lösung und vor allem den Lösungsweg.
Mein Abi (neusprachl. Gym.) ist 34 Jahre her. Vektorenrechnung wurde gelehrt, habe ich aber bisher nicht gebraucht, meine Grenzen sind erreicht.
Mit dem Lösungsweg kann ich die Aufgabe nachvollziehen und einem engagiertem Schüler erklären.
Ich bin ehrenamtlich in der Jugendarbeit tätig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Zwei Ebenen sind entwider zu einander parallel(oder Speziallfall identisch) oder schneiden sich,
Also, deine Aufgabe ist nur,die Lagebeziehung der Normalvektoren zu bestimmen,weil die Ebenengleichungen alle in Koordinatenform eingegeben sind,also,wenn zwei Vektoren linear anhängig sind,d.h das sie parallel sind und demzufolge schneiden sich die Ebenen NICHT und wenn sie linear unabhängig sind,schneiden sich die Ebenen.
Grüß
Omid.
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Hallo!
Da dein Abi schon ne weile her ist werde ich dir mal eine komplette beispielrechnugn geben dich ich diese woche meinem Nachhilfeschüler gegeben habe!
[mm] E_{1}:3x-4y+z=1
[/mm]
[mm] E_{2}:5x+2y-3z=6
[/mm]
Nun mächten wir die Schnittgerade bestimmen.
Also stellen wir das folgende lineare Gleichungssytem auf:
3x-4y+z=1 I
5x+2y-3z=6 II
Nach umformung bekommen wir:
13x -5z=13
5x+2y-3z=6
Settzt man nun in die Gleichung I für z=13t ein so erhält man x=1+5t
Setzt man x=1+5t und z=13t in die Gleichung II ein so erhält man y=0,5+7t
Insgesamt gilt also:
x=1+5t
y=0,5+7t
z=13t
Also lautet die gesuchte schnittgerade: [mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0,5 \\ 0}+t\vektor{5 \\ 7 \\ 13}
[/mm]
Wenn du dich jetzt fragst warum ich z=13t gewählt habe liegt das nur daran das ich nicht mit brüchen rechnen wollte. Man hätte auch z=1t wählen können aber dann wären brüche herausgekommen 
Nun und es gilt getzt dass sich zwei ebenen schneiden wenn das LGS unendlich viele lösungen haben und dann kann man die schnittgerade berechnen so wie ich es gerade gemacht habe. Zwei ebenen schneiden sich nciht also sind parallel wenn das LGS keine Lösungen besitzt.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Anjin |
Hallo Tyskie84, vielen Dank für Deinen Beitrag, Du hast mir damit sehr geholfen. In der der Regel reicht es wenn ich meinem 'Schüler' einen Hinweis gebe, nur ist in diesem Fall mein Hintergrund sehr dünn.
Du hast 13t 'gewählt', was wäre sonst noch wählbar?
Ich habe noch eine Frage in das Forum gestellt, gleiches Thema, kannst Du da auch helfen?
Vielen Dank auch an Halloomid1493 für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Anjin |
Hallo Tyskie84, ich habe gerade nachgeschaut, die Aufgabe kam mir bekannt vor, das ist die Beispielaufgabe aus dem LS zu dieser Lektion.
Die hilft leider nicht weiter. Hast Du mit Deinem Schüler auch andere Aufgaben gerechnet?
Viele Grüsse
Anjin
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Hallo
> Die hilft leider nicht weiter.
Warum? Was ist daran nicht verständlich?
> Hast Du mit Deinem Schüler
> auch andere Aufgaben gerechnet?
Ja natürlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Anjin |
Hallo Tyskie84,
wenn ich Schülern helfe, nehme ich mir die jeweiligen Aufgaben vor und rechne sie mit Haupt- und Nebenrechnung durch und schreibe das auf.
Dann bin ich im Thema und kann leicht prüfen/nachvollziehen wo und wann ein Schüler (es sind manchmal auch mehrere) vom 'rechten Weg' abkommt.
der Schüler kann das dann auch nachvollziehen und setzt in der Regel viel Energie ein es besser zu machen. Es ist nicht selten das meine Schützlinge plötzlich durchstarten und keine Hilfe mehr brauchen. Das ist natürlich das Ziel. Bei diesem Thema fehlt mir dieses gerechnete Beispiel.
Viele Grüsse
Anjin
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Hallo!
das kann ich schon verstehen aber ich weiss nicht wo dein problem liegt dh ich weiss nicht was du noch nicht so recht verstanden hast. Ich würde dir vorschlagen dass du mal eine aufgabe rechnest und wir dann prüfen wo evtl fehler sind dann können wir dir besser helfen
Gruß
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Du kannst das auch natüröich mit deiner aufgabe machen.
zum Beispiel das LGS aufstellen:
-2x+y+z=5
5x+2y+z=-6
Durch Umformung erhält man:
-2x+y+z=5
9x-z=-16
Wähle z=9t
dann erhält man für x:
[mm] x=\bruch{16}{9}+t
[/mm]
usw. ist wirklich immer das selbe
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Anjin |
Hallo Tyskie84,
vielen Dank, das Problem ist die fehlende Nebenrechnung, eine Gleichung wird umgeformt und steht dann anders da. Was passiert da? Bei allem anderen, Differential, Integral habe ich kein Problem, bei diesem Thema stecke ich fest.
Viele Güsse
Anjin
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Hallo!
Da kommen wir der sache schon näher
Als nehmen wir unser erstes beispiel:
I: 3x-4y+z=1
II:5x+2y-3z=6
Die Umformung ist filgende: man multipliziert die II Gleichung mit 2 und addiert sie zur I Gleichung. Wir wollen nämlich in der I Gleichung das y wegbekommen
Also folgt
I: 13x -5z=13
II:5x+2y-3z=6
Jetzt ales klar? Allgemein zur LGS berechnung.
1. Man darf Zeilen vertauschen
2. Man darf Zeilen dividieren oder multiplizieren mit einer Zahl [mm] \not=0
[/mm]
3 Zeilen voneinander addieren oder subtrahieren
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Anjin |
Hallo Tyskie84,
das war Spitze, damit sind ein paar meiner verstaubten grauen Zellen wieder ausgeleuchtet worden.
Ich glaube jetzt komme ich damit klar.
Vielen Dank
Anjin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Vllt noch was allgemeines, wenn du so schick beide Ebenen in der Koordinatenform hast.
Die gegenseitige Lage lässt sich sehr simpel lediglich anhand dieser bestimmen.
Es gilt:
E1: -2 x1 + x2 + x3 = 5 ist parallel zu E2: 2 x1 - x2 - x3 = 1
man könnte E2 zu -2x1 +x2+x3=-1 umformen; somit wäre es die gleiche Ebene, lediglich verschoben.
Wenn eine Parallelität vorliegt, sind also stets "die linken seiten der Gleichungen" identisch und die rechten unterschiedlich.
Bei Identität sind sowohl die rechte als auch die linke Seiten Identisch.
E1: -2 x1 + x2 + x3 = 5 wäre identisch mit -4 x1 +2x2+2x3=10 und sonstigen Vielfachen.
Bei allen anderen Fällen liegt zwingend eine Schnittgerade vor, da sich Ebenen im R3 nicht nicht schneiden können :)
Dachte, dass dir das vllt auch am Rande helfen könnte...
Ciao, Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 So 06.01.2008 | | Autor: | Anjin |
Hallo Maggons,
Dein Beitrag hat mir auch geholfen, bei einer Aufgabe war das der Fall.
Ich bin ganz schön ins grübeln bekommen, da das Ergebnis laut LSB falsch ist.
Viele Grüsse
Anjin
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