Gegenseitige Lage von Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Do 13.03.2008 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S.
a) [mm] g:x^{\to}=\pmat{ 5\\0\\1 }+t*\pmat{ 2\\1\\-1 },
[/mm]
[mm] h:x^{\to}=\pmat{ 7\\1\\2 }+t*\pmat{ -6\\-3\\3 }
[/mm]
b),c),d) vom Aufbau das Selbe! |
Hey,
ich möchte gerne von euch wissen, wie ich diese Parametergleichungen?/Vektorgleichungen? untersuchen kann, um herauszufinden wie die Lage der Geraden ist. Ich würde mich darüber freuen, wenn mir jemand erklären könnte, ab wann eine Vektorgleichung "identisch" ist oder einen "Schnittpunkt" hat, bzw. gar keine gemeinsamen Punkte?
Bin über jede Hilfe froh!
mfg Isger
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Hi Isger!
Geraden im Raum können linear abhängig sein (parallel o. identisch) oder linear unabhängig (Schnittpunkt o. windschief). Zu Untersuchen sind immer zuerst die Richtungsvektoren. Danach werden die Gleichungen mit den Unbekannten "s und t" gelöst.
Allgemein gilt
[mm] g_1: \vec [/mm] x= [mm] \vec [/mm] a + [mm] s*\vec [/mm] u [mm] (\vec [/mm] u [mm] \ne \vec [/mm] 0)
[mm] g_2: \vec [/mm] x= [mm] \vec [/mm] b + [mm] t*\vec [/mm] v
[mm] g_1 [/mm] parallel [mm] g_2, [/mm] wenn gilt [mm] \vec [/mm] v = [mm] k*\vec [/mm] u
[mm] g_1 [/mm] identisch [mm] g_2, [/mm] wenn zusätzlich gilt [mm] \vec [/mm] a = [mm] \vec [/mm] b + [mm] t*\vec [/mm] v
[mm] g_1 [/mm] schneidet [mm] g_2, [/mm] wenn gilt [mm] \vec [/mm] a + [mm] s*\vec [/mm] u = [mm] \vec [/mm] b + [mm] t*\vec [/mm] v
[mm] g_1 [/mm] windschief [mm] g_2, [/mm] wenn gilt [mm] \vec [/mm] a + [mm] s*\vec [/mm] u [mm] \ne \vec [/mm] b + [mm] t*\vec [/mm] v
Ich hoffe, dass das weiterhilft. LG Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Do 13.03.2008 | | Autor: | Markus110 |
Sorry, irgendwie sind die Vektorpfeile etwas nach links verrutscht. Ich hoffe man kann erkennen wo sie sein sollten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Isaak |
Hallo,
> [mm]g_1[/mm] parallel [mm]g_2,[/mm] wenn gilt [mm]\vec[/mm] v = [mm]k*\vec[/mm] u
>
mit k, meinst du doch sicher ein vielfachses von u, oder?
mfg isger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Isaak!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 16.03.2008 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | c) [mm] \pmat{ 0\\1\\1 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ 1\\0\\1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 4\\2\\4 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ 2\\1\\1 }
[/mm]
d) [mm] \pmat{ 5\\5\\1 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ 1\\2\\0 } [/mm] = [mm] \pmat{ -5\\-15\\1 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ -0,5\\1\\0 } [/mm] |
Hey,
ich habe nun herausgefunden (jedenfalls denke ich das :)), dass die Lösung für c), die "Geraden schneiden sich" ist, wenn man für die erste Parametergleichung t=r= 2 nimmt und für die zweite t=-1!
Für d) habe ich t= 20 genommen, bei der Gleichung ob die Geraden "identisch" sind, jedoch wundere ich mich, dass sie nicht "parallel" verlaufen. Kann das sein?
Wenn ich es richtig habe, wie kann man dann noch den Schnittpunkt für c) berechnen?
mfg isger
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Hi, Isaak,
> c) [mm]\pmat{ 0\\1\\1 }[/mm] + t * [mm]\pmat{ 1\\0\\1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 4\\2\\4 }[/mm]
> + t * [mm]\pmat{ 2\\1\\1 }[/mm]
>
> d) [mm]\pmat{ 5\\5\\1 }[/mm] + t * [mm]\pmat{ 1\\2\\0 }[/mm] = [mm]\pmat{ -5\\-15\\1 }[/mm]
> + t * [mm]\pmat{ -0,5\\1\\0 }[/mm]
Ich würde aber von Anfang an die Parameter unterschiedlich benennen, z.B. (wie Deine Lösung zu c) andeutet) den linken "r".
> ich habe nun herausgefunden (jedenfalls denke ich das :)),
> dass die Lösung für c), die "Geraden schneiden sich" ist,
> wenn man für die erste Parametergleichung t=r= 2 nimmt und
> für die zweite t=-1!
Das stimmt!
> Für d) habe ich t= 20 genommen, bei der Gleichung ob die
> Geraden "identisch" sind, jedoch wundere ich mich, dass sie
> nicht "parallel" verlaufen. Kann das sein?
Da sie nicht parallel sind (wie Du richtig erkannt hast), können sie auch nicht identisch sein! Sie schneiden sich vielmehr, wobei Du den Schnittpunkt mit r=-10 bzw. t=0 findest.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 So 16.03.2008 | | Autor: | Isaak |
Ok,
danke bis jetzt für eure Hilfe.
Wie berechnet man jetzt noch den Schnittpunkt?
Ein Kollege meinte grad über Msn; der Schnittpunkt lautet S=$ [mm] \pmat{ 5\\-15\\1 } [/mm] $ . Ist das richtig und wenn ja, ergibt das sich wenn man die beiden Parametergleichungen gleichsetzt und die zweite, im zweiten Abschnitt mal 0 multipliziert?
Wenn es jedoch ein Wert nicht gleich 0 ist, wodurch kriegt man dann den Schnittpunkt raus?
mfg isger
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Hi, Isaak,
wenn Du die beiden Geraden gleichsetzt - natürlich (IMMER !!!) mit unterschiedlichen Parametern - sagen wir r und t - dann kriegst Du damit ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten , eben r und t.
Rechne r und t aus und mache die Probe. Wenn die Probe aufgeht, setze eine der beiden Lösungen in die zugehörige Geradengleichung ein und Du hast den Schnittpunkt.
Ach ja: In Deiner Lösung ist ein Vorzeichenfehler! Der Schnittpunkt in Deinem Beispiel ist S(-5 / -15 / 1).
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 So 16.03.2008 | | Autor: | Isaak |
Nachdem ich r und t auf eine Seite geholt habe sieht die Gleichung wie folgt aus;
[mm] r*\pmat{1 \\2\\0 }+ t*\pmat{ 0,5 \\ -1\\-0 } [/mm] = [mm] \pmat{ -10 \\ -20 \\ 0} [/mm]
Setze ich nun r=-10 und t=0 ein, dann komme ich auf die Lösung
[mm] \pmat{ -10 \\ -20 \\ 0} [/mm] aber nicht auf [mm] \pmat{ -5 \\ -15 \\ 1}.
[/mm]
Wo liegt denn nun der Knackspunkt um nun den Schnittpunkt zu bekommen?
mfg Isger
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Hey, du musst dein r oder s ganz zu Anfang in die entsprechende Geradengleichung einsetzen. Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 So 16.03.2008 | | Autor: | Isaak |
Ok, danke für eure Hilfe. Habe es verstanden!
mfg isger
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