Gekoppelte Schwingung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:43 Do 25.10.2007 | | Autor: | Dhana |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass bei geschickter Koordinatenwahl die gekoppelte Schwingung zweier Massen auf das einfache Federmodell zurückgeführt werden kann.
Skizze: [m1]vvvvvvvv[m2] (zwei Massen auf Rollen mit Feder dazwischen)
Zeigen Sie insbesondere die Periodizität der Bewegung und bestimmen Sie die Kreisfrequenz [mm]\omega[/mm] und die Periode [mm]\tau[/mm].
b) Gebe Sie die Lösungen x1(t), x2(t) in Abhängigkeit der Anfangswerte an:
[mm]x_i(0) = x_{i, 0}[/mm]
[mm]\dot{x_i}(0) = x_{i, 0}[/mm]
(i = 1,2) |
Ok, ich studier immernoch Mathe ohne große Ahnung in Physik, aber da mir die Antwort auf meine andere Frage hier so gut geholfen hat versuche ich es nochmal :)
Also mein Ansatz wäre bisher eine DGL für jedes Massedingens:
[mm]m_1 x''_1 = -k x_1 - k(x_1 - x_2)[/mm]
[mm]m_2 x''_2 = -k x_2 - k(x_2 - x_1)[/mm]
Wäre das denn soweit richtig? Als nächsten Schritt müßte ich die wohl irgendwie entkoppeln? Gibts da einen Weg? Und wie zeige ich die Periodizität, dem die xi sinus bzw. cosinus Funktionen sind? Auch weitere Tipps sind willkommen ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dhana!
> a) Zeigen Sie, dass bei geschickter Koordinatenwahl die
> gekoppelte Schwingung zweier Massen auf das einfache
> Federmodell zurückgeführt werden kann.
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> Skizze: [m1]vvvvvvvv[m2] (zwei Massen auf Rollen mit Feder dazwischen)
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> Zeigen Sie insbesondere die Periodizität der Bewegung und bestimmen Sie die Kreisfrequenz [mm]\omega[/mm] und die Periode [mm]\tau[/mm].
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> b) Gebe Sie die Lösungen x1(t), x2(t) in Abhängigkeit der Anfangswerte an:
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> [mm]x_i(0) = x_{i, 0}[/mm]
> [mm]\dot{x_i}(0) = x_{i, 0}[/mm]
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> (i = 1,2)
> Ok, ich studier immernoch Mathe ohne große Ahnung in Physik, aber da mir die Antwort auf meine andere Frage hier so gut geholfen hat versuche ich es nochmal :)
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> Also mein Ansatz wäre bisher eine DGL für jedes Massedingens:
>
> [mm]m_1 x''_1 = -k x_1 - k(x_1 - x_2)[/mm]
> [mm]m_2 x''_2 = -k x_2 - k(x_2 - x_1)[/mm]
Nicht ganz. So verletzt du das dritte Newtonsche Gesetz! 
Es wirkt eine Kraft zwischen den beiden Massen, die proportional zur Auslenkung ist. Diese Kraft ist für beide betragsmäßig gleich, aber mit unterschiedlichem Vorzeichen. Das heisst:
[mm]m_1 x''_1 = - k(x_1 - x_2)[/mm]
[mm]m_2 x''_2 = + k(x_1 - x_2)[/mm]
Da fehlt allerdings noch eine Kleinigkeit, nämlich der Abstand bei Ruhelage. So wie die Gleichungen da stehen, bedeuten sie, dass die Kraft 0 ist, wenn der Abstand 0 ist. Realistisch hat die Feder einer gewisse Länge [mm]\ell[/mm], sodass gilt:
[mm]m_1 x''_1 = - k(x_1 - x_2 - \ell )[/mm]
[mm]m_2 x''_2 = k(x_1 - x_2 - \ell)[/mm]
Zum Entkoppeln: bilde die Differenz dieser beiden DGLen, dann hast du eine DGL für [mm]x_\Delta= (x_1-x_2)[/mm].
Bilde die Summe, dann hast du eine ganz einfache DGL für die Schwerpunktskoordinate [mm]x_S[/mm].
Physikalisch: Es wirken keine äußeren Kräfte, daher ruht der Schwerpunkt, dessen Koordinate [mm]x_S[/mm] durch
[mm](m_1+m_2)x_S = m_1 x_1 + m_2 x_2[/mm] gegeben ist: [mm]x''_S=0[/mm].
Wähle daher [mm]x_S[/mm] und [mm]x_\Delta[/mm] als neue Koordinaten.
Viele Grüße
Rainer
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