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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Fr 03.06.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Zwei harmonische Oszillatoren (haben die Masse M und die Federkonstande D) werden über eine Feder [mm] ($D_{12}$) [/mm] gekoppelt. Die Koordinaten der Massen sind q1 und q2. Beide Oszillatoren haben nur einen
Freiheitsgrad. (Wand-Feder-Masse-Feder-Masse-Wand)
(a)Geben sie die Bewegungsgleichungen an und
transformieren Sie durch den Ansatz [mm] $q_i [/mm] = [mm] A_i cos(\omega [/mm] t)$ die Bewegungsgleichungen in ein algebr.
Gleichungssystem und stellen Sie es als Matrix dar.
b) Lösen Sie für das gefundene Gleichungssystem das Eigenwertproblem und erläutern Sie die ge-
fundenen Eigenvektoren. |
Hallo,
also wollte fragen, ob mein Ansatz für die b) richtig ist.
Die Bewegungsgleichungen sind:
[mm] $m_1*\ddot q_1=-q_1*(D*D_{12})+q_2*D_{12}$
[/mm]
[mm] $m_2*\ddpt q_2=-q_2*(D*D_{12})+q_1*D_{12}$
[/mm]
[mm] $q_i=A_i*cos(\omega*t)
[/mm]
[mm] $q_i'=-A_i*\omega *sin(\omega*t)
[/mm]
[mm] $q_i''=-A_i*\omega [/mm] ^2 [mm] *cos(\omega*t)$
[/mm]
Das setze ich in meine Bewegungsgleichungen ein und erhalte (hoffe die Schritte sind noch nachvollziehbar):
[mm] $\omega^2* \begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}-\bruch{D+D_{12}}{m} & \bruch{D_{12}}{m} \\
\bruch{D_{12}}{m} & -\bruch{D+D_{12}}{m}
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix}$
[/mm]
Das stellt doch jetzt ein Eigenwert-Problem dar oder?
Das ganze hat ja die Form:
[mm] $\lambda*\vec A=M*\vec [/mm] A$ mit [mm] $\lambda=\omega^2$
[/mm]
Was ich jetzt mit
[mm] $|M-\lambda *E|*\vec [/mm] A=0$ löse oder?
Weiter habe ich noch nicht gerechnet weil es für mich auf den ersten Blick sehr aufwendig aussieht, und wir im ersten Versuch die Aufgabe zu lösen einen bisschen anderen Weg gegangen sind:
Wir haben die Bewegungsgleichungen so umgeformt, dass auf einer Seite 0 stand und daraus dann die Matrix gemacht:
[mm] \begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-m*\omega^2+(D+D_{12}) & D_{12} \\
D_{12} & -m*\omega^2+(D+D_{12}
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix}
[/mm]
Und jetzt einfach angefangen, das Eigenwertproblem zu lösen, indem wir einfach die Lambda für [mm] $det(M-\lambda*E)=0$ [/mm] errechnet haben.
Wir kamen dann für die Eigenvektoren auf die meiner Meinung richtigen [mm] $\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1 \\ -1}$. [/mm] Aber irgendwie macht das so doch keinen Sinn, weil es doch gar kein Eigenwertproblem ist?
Hoffe das war jetzt nicht zu viel Text und einigermaßen nachvollziehbar.
Wäre für eine kleine Hilfe dankbar!
lg!
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Hallo nhard,
> Zwei harmonische Oszillatoren (haben die Masse M und die
> Federkonstande D) werden über eine Feder ([mm]D_{12}[/mm])
> gekoppelt. Die Koordinaten der Massen sind q1 und q2. Beide
> Oszillatoren haben nur einen
> Freiheitsgrad. (Wand-Feder-Masse-Feder-Masse-Wand)
>
> (a)Geben sie die Bewegungsgleichungen an und
> transformieren Sie durch den Ansatz [mm]q_i = A_i cos(\omega t)[/mm]
> die Bewegungsgleichungen in ein algebr.
> Gleichungssystem und stellen Sie es als Matrix dar.
> b) Lösen Sie für das gefundene Gleichungssystem das
> Eigenwertproblem und erläutern Sie die ge-
> fundenen Eigenvektoren.
> Hallo,
> also wollte fragen, ob mein Ansatz für die b) richtig
> ist.
>
> Die Bewegungsgleichungen sind:
>
> [mm]m_1*\ddot q_1=-q_1*(D*D_{12})+q_2*D_{12}[/mm]
> [mm]m_2*\ddpt q_2=-q_2*(D*D_{12})+q_1*D_{12}[/mm]
>
>
> [mm]$q_i=A_i*cos(\omega*t)[/mm]
> [mm]$q_i'=-A_i*\omega *sin(\omega*t)[/mm]
> [mm]q_i''=-A_i*\omega ^2 *cos(\omega*t)[/mm]
>
> Das setze ich in meine Bewegungsgleichungen ein und erhalte
> (hoffe die Schritte sind noch nachvollziehbar):
>
> [mm]$\omega^2* \begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}-\bruch{D+D_{12}}{m} & \bruch{D_{12}}{m} \\
\bruch{D_{12}}{m} & -\bruch{D+D_{12}}{m}
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix}$[/mm]
Hier ist [mm]m_{1}=m_{2}=m[/mm] gesetzt worden.
>
> Das stellt doch jetzt ein Eigenwert-Problem dar oder?
Ja, ein Eigenwertproblem für [mm]\omega[/mm]
> Das ganze hat ja die Form:
>
> [mm]\lambda*\vec A=M*\vec A[/mm] mit [mm]\lambda=\omega^2[/mm]
> Was ich jetzt mit
> [mm]|M-\lambda *E|*\vec A=0[/mm] löse oder?
Richtig.
>
> Weiter habe ich noch nicht gerechnet weil es für mich auf
> den ersten Blick sehr aufwendig aussieht, und wir im ersten
> Versuch die Aufgabe zu lösen einen bisschen anderen Weg
> gegangen sind:
> Wir haben die Bewegungsgleichungen so umgeformt, dass auf
> einer Seite 0 stand und daraus dann die Matrix gemacht:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-m*\omega^2+(D+D_{12}) & D_{12} \\
D_{12} & -m*\omega^2+(D+D_{12}
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix}[/mm]
>
> Und jetzt einfach angefangen, das Eigenwertproblem zu
> lösen, indem wir einfach die Lambda für
> [mm]det(M-\lambda*E)=0[/mm] errechnet haben.
> Wir kamen dann für die Eigenvektoren auf die meiner
> Meinung richtigen [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm].
Das sind auch die richtigen Eigenvektoren.
> Aber irgendwie macht das so doch keinen Sinn, weil es doch
> gar kein Eigenwertproblem ist?
>
> Hoffe das war jetzt nicht zu viel Text und einigermaßen
> nachvollziehbar.
>
> Wäre für eine kleine Hilfe dankbar!
>
> lg!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 04.06.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Habe mich glaube ich ungeschickt ausgedrückt, eigentlich wollte ich wissen, welcher der beiden Ansätze der richtige ist oder ob beide richtig sind.
Ich habe jetzt meinen Ansatz durchgerechnet (war doch nicht so viel Aufwand :P ) und bin auch auf das gleiche Ergebnis gekommen, glaube aber das dieser der "korrektere" Weg ist, als unser erster Versuch. Ich schreibe mal meine Ergebnisse auf falls jemand mal das gleiche Problem haben sollte (und vielleicht ist ja doch was falsch):
Ich nehme den vorgegebenen Ansatz, setze ihn in meine Gleichungen ein forme um und erhalte:
[mm] $A_1*\omega^2*m=A_1*(D+D_{12})-A_2*D_{12}$
[/mm]
[mm] $A_2*\omega^2*m=A_2*(D+D_{12})-A_1*D_{12}$
[/mm]
Das in eine Matrix umgeschrieben ergibt:
$ [mm] \lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}A_1 \\ A_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}D+D_{12}& -D_{12}\\ -D_{12} & D+D_{12} \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix}$ [/mm]
mit [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \omega^2*m$
[/mm]
Die Eigenwerte errechne ich dann nach
[mm] $|M-\lambda*E|=0$ [/mm] (mit E=Einheitsmatrix und M der Matrix rechts vom =-Zeichen)
und erhalte nach Lösung der quadratischen Gleichung:
[mm] $\lambda_1=D$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=D+2D_{12}$
[/mm]
Entspricht also einer Kreisfrequenz von
[mm] $\omega_1=\sqrt{\bruch{D}{m}}$
[/mm]
[mm] $\omega_2=\sqrt{\bruch{D+2D_{12}}{m}}$
[/mm]
Die Eigenvektoren erhalte ich dann nach
[mm] $(M-\lambda_{1/2}*E)*\vec [/mm] A=0$
und erhalte:
[mm] $\vec A_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\vec A_2=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$
[/mm]
Die beiden Eigenvektoren geben also die Bedingung für eine Normalschwingung (durch Lösungsansatz vorgegeben: beide Pendel schwingen mit der gleichen Frequenz) an:
[mm] $\vec A_1$ [/mm] entspricht dann der Auslenkung beider Massen in die gleiche Richtung mit gleichem Betrag$
Die entstehende Schwingung ist dann wie zwei unabhängige Schwingungen (der Abstand der beiden Massen ist immer gleich dem Abstand in der Ruhelage, d.h. die mittlere Feder übt keine Kraft aus)
[mm] $\vec A_2$ [/mm] entspricht einer Auslenkung gleichen Betrags aber in die entgegengesetzte Richtung. Die mittlere Feder wirkt dann wie eine Vergrößerung der effektiven Federkonstante [mm] $(D_e_f_f=D+2D_{12})$.
[/mm]
Hoffe jetzt stimmt alles,
lg
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Hallo nhard,
> Hallo,
> danke für deine Antwort.
> Habe mich glaube ich ungeschickt ausgedrückt, eigentlich
> wollte ich wissen, welcher der beiden Ansätze der richtige
> ist oder ob beide richtig sind.
>
> Ich habe jetzt meinen Ansatz durchgerechnet (war doch nicht
> so viel Aufwand :P ) und bin auch auf das gleiche Ergebnis
> gekommen, glaube aber das dieser der "korrektere" Weg ist,
> als unser erster Versuch. Ich schreibe mal meine Ergebnisse
> auf falls jemand mal das gleiche Problem haben sollte (und
> vielleicht ist ja doch was falsch):
>
> Ich nehme den vorgegebenen Ansatz, setze ihn in meine
> Gleichungen ein forme um und erhalte:
>
> [mm]A_1*\omega^2*m=A_1*(D+D_{12})-A_2*D_{12}[/mm]
> [mm]A_2*\omega^2*m=A_2*(D+D_{12})-A_1*D_{12}[/mm]
>
> Das in eine Matrix umgeschrieben ergibt:
>
> [mm]\lambda * \begin{pmatrix}A_1 \\ A_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}D+D_{12}& -D_{12}\\ -D_{12} & D+D_{12} \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} A_1\\A_2\end{pmatrix}[/mm]
>
> mit [mm]\lambda = \omega^2*m[/mm]
>
> Die Eigenwerte errechne ich dann nach
> [mm]|M-\lambda*E|=0[/mm] (mit E=Einheitsmatrix und M der Matrix
> rechts vom =-Zeichen)
>
> und erhalte nach Lösung der quadratischen Gleichung:
> [mm]\lambda_1=D[/mm]
> [mm]\lambda_2=D+2D_{12}[/mm]
>
> Entspricht also einer Kreisfrequenz von
> [mm]\omega_1=\sqrt{\bruch{D}{m}}[/mm]
>
> [mm]\omega_2=\sqrt{\bruch{D+2D_{12}}{m}}[/mm]
>
> Die Eigenvektoren erhalte ich dann nach
> [mm](M-\lambda_{1/2}*E)*\vec A=0[/mm]
>
> und erhalte:
>
> [mm]\vec A_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec A_2=\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Die beiden Eigenvektoren geben also die Bedingung für eine
> Normalschwingung (durch Lösungsansatz vorgegeben: beide
> Pendel schwingen mit der gleichen Frequenz) an:
>
> [mm]$\vec A_1$[/mm] entspricht dann der Auslenkung beider Massen in
> die gleiche Richtung mit gleichem Betrag$
> Die entstehende Schwingung ist dann wie zwei unabhängige
> Schwingungen (der Abstand der beiden Massen ist immer
> gleich dem Abstand in der Ruhelage, d.h. die mittlere Feder
> übt keine Kraft aus)
>
> [mm]\vec A_2[/mm] entspricht einer Auslenkung gleichen Betrags aber
> in die entgegengesetzte Richtung. Die mittlere Feder wirkt
> dann wie eine Vergrößerung der effektiven Federkonstante
> [mm](D_e_f_f=D+2D_{12})[/mm].
>
> Hoffe jetzt stimmt alles,
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg
Gruss
MathePower
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