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Gekoppelter Schwingkreis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Sa 05.07.2014
Autor: MichaelKelso

Aufgabe
Bestimmen Sie die Resonanzfrequenzen für zwei kapazitiv gekoppelte, gleichartige Schwingkreise mit Induktivität L=1mH und Kapazität C=1nF für den verlustfreien Fall ( d.h. ohmscher Widerstand R=0). Leiten Sie dazu einen Ausdruck für die Resonanzfrequenzen aus den gekoppelten Differentialgleichungen her und bestimmen Sie die beiden Frequenzen. Die kapazitive Kopplung sei [mm] C_k=20nF. [/mm]

Hallo!

Ich habe mir ein paar Gedanken gemacht und weiß nur nicht, ob das wirklich so funktioniert...

Diese Schaltung habe ich mir überlegt:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dann müsste gelten:

[mm] I_1 [/mm] - [mm] I_2 [/mm] = [mm] I_k [/mm]
[mm] U_{1,C} [/mm] + [mm] U_{1,L} [/mm] + [mm] U_{k} [/mm] = 0
[mm] U_{2,C} [/mm] + [mm] U_{2,L} [/mm] + [mm] U_{k} [/mm] = 0

mit

[mm] U_{C}=\bruch{1}{C}\integral_{}^{}{I dt} [/mm]     und    [mm] U_L=L*\bruch{dI}{dt} [/mm]

Dann komme ich nach ein paar Umformungen auf

[mm] L\bruch{d^2}{dt^2}(I_1-I_2) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{C}+\bruch{2}{C_k})(I_1-I_2) [/mm] = 0
das müsste so richitg sein, oder?

Jetzt soll ich daraus die Resonanzfrequenz bestimmen.
Ich setze [mm] (I_1-I_2)(t) [/mm] = [mm] I_G(t) [/mm] und erhalte die Differentialgleichung:
[mm] L\bruch{d^2}{dt^2}I_G [/mm] + [mm] A*I_G [/mm] = 0  mit [mm] A=\bruch{1}{C}+\bruch{2}{C_k} [/mm]

Die kann ich dann mit dem Exponentialansatz lösen [mm] I_G(t)=exp(a*t) [/mm] ; [mm] \bruch{d}{dt}I_G=a*exp(a*t) [/mm] ; [mm] \bruch{d^2}{dt^2}I_G [/mm] = [mm] a^2*exp(a*t) [/mm]

Dann erhalte ich nach Einsetzen: [mm] a^2=\wurzel{-\bruch{A}{L}} [/mm]  also [mm] a=-i\wurzel{\bruch{A}{L}} [/mm]

Nach Einsetzten der Werte für C, [mm] C_k [/mm] und L erhalte ich somit:
[mm] a_1=-1.048*10^6*i [/mm]  und [mm] a_2=1.048*10^6*i [/mm]


Die Lösungen sind also:

[mm] (I_1-I_2)(t)=exp(-1.048*10^6*i*t) [/mm] = [mm] cos(-1.048*10^6*t) +i*sin(-1.048*10^6*t) [/mm]  und
[mm] (I_1-I_2)(t)=exp(1.048*10^6*i*t) [/mm] = [mm] cos(1.048*10^6*t) +i*sin(1.048*10^6*t) [/mm]


Also sind meine Resonanzfrequenzen:
[mm] \omega_1=1.048*10^6s^{-1} [/mm]
[mm] \omega_2=-1.048*10^6s^{-1} [/mm]


Ist das so richtig???
Herzlichen Dank!!
Beste Grüße

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Gekoppelter Schwingkreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 So 06.07.2014
Autor: leduart

Hallo
nein, du solltest 2 (gekoppelte) Dgl haben, und damit 2 Eigenfrequenzen, die 2 können in gleicher Richtung schwingen, Ck spielt dann keine Rille oder gegeneinander, vergleiche mal mit gekoppelten Pendeln, L entspricht der Masse, C den Federn.
eine negative Frequenz soll wohl was sein?
Ausserdem erwartet man eine reelle Lösung!
Gruß leduart

Bezug
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