Gemeinsame Nullstellen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:50 Mo 23.02.2009 | | Autor: | klaus_84 |
| Aufgabe | | Begründen Sie, dass die Nullstellen von h(x) gemeinsame Nullstellen von f(x) und g(x) sind und dass keine weiteren gemeinsamen Nullstellen von f(x) und g(x) existieren. |
Alle Polynome über dem Körper [mm] \IQ [/mm] definiert, h(x) ist der mit Hilfe des Euklid'ischen Algorithmus bestimmte ggT der Polynome f(x) und g(x).
Ich habe die Idee, dass sich die Ursprungspolynome als
f(x) = (x - NST 1f)(x - NST 2f) ... (Restpolynom f)
g(x) = (x - NST 1g)(x - NST - 2g) ... (Restpolynom g)
darstellen lassen.
h(x) lässt sich zudem als Linearkombination von beiden mit Polynomen p(x) und q(x) als Koeffizienten darstellen.
Ansonsten verlässt mich hier die Idee ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 23.02.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Begründen Sie, dass die Nullstellen von h(x) gemeinsame
> Nullstellen von f(x) und g(x) sind und dass keine weiteren
> gemeinsamen Nullstellen von f(x) und g(x) existieren.
> Alle Polynome über dem Körper [mm]\IQ[/mm] definiert, h(x) ist der
> mit Hilfe des Euklid'ischen Algorithmus bestimmte ggT der
> Polynome f(x) und g(x).
f und g sind beide Vielfache von h, also z. B. f(x) = p(x)h(x). Wenn du jetzt eine Nullstelle a von h einsetzt, ist f(a) = 0, also a auch Nullstelle von f. Genauso mit g.
> h(x) lässt sich zudem als Linearkombination von beiden mit
> Polynomen p(x) und q(x) als Koeffizienten darstellen.
Da setzt du eine gemeinsame Nullst. b von f und g ein. Dann muß h(b) = 0 sein. Erledigt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Mo 23.02.2009 | | Autor: | klaus_84 |
Danke für die schnelle Antwort.
So hatte ich auch überlegt.
Aber folgt daraus zwingend, dass es keine weiteren gemeinsamen Nullstellen von f und g gibt? Wenn ja, warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mo 23.02.2009 | | Autor: | statler |
Hi noch mal!
> Aber folgt daraus zwingend, dass es keine weiteren
> gemeinsamen Nullstellen von f und g gibt? Wenn ja, warum?
Ich muß mich wiederholen:
Es ist doch h(x) = r(x)f(x) + s(x)g(x), wie du selbst geschrieben hast. Ist jetzt b eine gemeinsame Nullstelle von f und g, also f(b) = g(b) = 0, dann ist offensichtlich auch h(b) = 0. Also sind alle gemeinsamen Nullstellen von f und g automatisch Nullstellen von h, weitere gibt es nicht.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Mo 23.02.2009 | | Autor: | klaus_84 |
Klick!
Alles klar, danke.
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