Gemeinsame Punkte bei Kurvenscharen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Di 17.08.2004 | | Autor: | r0xor |
Moin!
Folgendes Problem:
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=a*x^3- \bruch{1}{2}*x^2+(2-4a)*x+2
[/mm]
Ich hab mit Derive schon herausgefunden, dass bei x=-2 v x=2 v x=0 gemeinsame Punkte der Kurvenschar sein müssen, egal was man für a einsetzt. Jetzt die Frage: Wie kann ich allgemein beweisen, dass das für alle a gilt?
Danke für Eure antworten, schöne Grüße aus Hamburg.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Di 17.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi r0xor
wenn du nur beweisen willst, dass die funktionsschar-kurven alle durch gemeinsame punkte gehen (deren x-werte du schon hast) genügt es diese einzusetzen und auszurechnen. wenn noch etwas in abhängigkeit von a herauskommt, war der wert entweder falsch, oder du hast dich verrechnet.
z.b.
[m] f_a(0) = a 0^3- \frac{1}{2}0^2+(2-4a)0+2 = 0 - 0 + 0 + 2 [/m]
und das ist offensichtlich unabhängig von [m]a[/m] und alle kureven gehen durch $(0|2)$. so sollte es bei den anderen punkten auch gehen.
wenn du jedoch alle punkte erstmal suchen musst, dann kannst du dies entweder über den allgemeienen ansatz
[m] f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) [/m]
und dann nach $x$ auflösen, was meist mit nicht unerheblichem rechenaufwand verbunden ist!
eine andere möglichkeit wäre zwei beliebige verschiedene parameter werte z.b. [mm] $a_1 [/mm] = 0$ und [mm] $a_2 [/mm] = 1$ zu wählen und die schnittpunkte dieser funktionen auszurechnen, also
[m] f_0(x) = f_1(x) [/m]
zu lösen. alle x-werte bei denen schnittpunkte aller scharkurven liegen können erhälst du auch durch diese gleichung - meist mit weniger rechenaufwand!
gruß
andreas
ps ich hoffe ich habe deine frage überhaupt richtig verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Di 17.08.2004 | | Autor: | r0xor |
Danke für die schnelle Antwort.
Das Erste hat mir gleich geholfen, denn die Punkte musste ich schon in einer Aufgabe vorher ausrechnen, so konnte ich sie ohne schlechtes Gewissen einsetzen ;).
Gruß Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Emily |
> Moin!
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> Folgendes Problem:
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=a*x^3- \bruch{1}{2}*x^2+(2-4a)*x+2
[/mm]
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> Ich hab mit Derive schon herausgefunden, dass bei x=-2 v
> x=2 v x=0 gemeinsame Punkte der Kurvenschar sein müssen,
> egal was man für a einsetzt. Jetzt die Frage: Wie kann ich
> allgemein beweisen, dass das für alle a gilt?
> Danke für Eure antworten, schöne Grüße aus Hamburg.
>
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
>
Hallo!
allgemein sieht das so aus:
[mm]f_a(x)=f_b(x) [/mm]
a ungleich b
[mm]a*x^3- \bruch{1}{2}*x^2+(2-4a)*x+2=b*x^3- \bruch{1}{2}*x^2+(2-4b)*x+2[/mm]
[mm]a*x^3- \bruch{1}{2}*x^2+(2-4a)*x-(b*x^3- \bruch{1}{2}*x^2+(2-4b)*x)=0[/mm]
[mm]x*(a*x^2- \bruch{1}{2}*x+(2-4a)-b*x^2+ \bruch{1}{2}*x-(2-4b))=0[/mm]
[mm]x*(a*x^2- \bruch{1}{2}*x+2-4a-b*x^2+ \bruch{1}{2}*x-2+4b)=0[/mm]
[mm]x*(a*x^2- \bruch{1}{2}*x-4a-b*x^2+ \bruch{1}{2}*x+4b)=0[/mm]
[mm]x*((a-b)*x^2-4(a-b))=0[/mm]
[mm]x*((a-b)*(x^2-4))=0[/mm]
da a ungleich b gilt:
[mm] x=0 \vee x^2=4[/mm]
[mm] x=0 \vee x=-2 \vee x=2[/mm]
Gruß
Emily
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