Gemeinsame Punkte einer e-Fkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 12.05.2007 | | Autor: | BaldABI |
| Aufgabe | y=fa(x)=(2x-1)*e^ax
Die Graphen fa1 und fa2 (a1, a2 element R; a1, a2 >0; a1 ungleich a2) besitzen gemeinsame Punkte.
Zeigen Sie, dass genau zwei solcher Punkte exsitieren
Geben Sie die Gleichung der achsenparallelen Asymptote der Funktion fa an.
Geben Sie den Wertebereich der Funktion fa an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Ansatz war zur ersten Frage, für a1=1 und für a2=2 einzusetzen und dies dann aufzulösen.
Jedoch komme ich dann auf x=2x was ja falsch ist.
Wie muss ich da herangehen?
Bei der Asymptote bin ich auch noch recht Ratlos.
MFG und schonmal thx!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Sa 12.05.2007 | | Autor: | max3000 |
Der erste gemeinsame Punkt ist bei x=1/2, weil dort beide Funktionen ihre Nullstelle haben.
Den 2. Punkt erhält man durch Gleichsetzen der 2 Gleichungen:
[mm] (2x-1)e^{a_{1}x}=(2x-1)e^{a_{2}x}
[/mm]
[mm] e^{a_{1}x}=e^{a_{2}x} [/mm] Das ganze Logarithmieren
[mm] a_{1}x=a_{2}x
[/mm]
[mm] x(a_{1}-a_{2})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0
Also hast du jetzt 2 Punkte an den Stellen 0 und 1/2.
Für die Asymptotenberechnung berechnest du mal die Grenzwerte für die Interessanten stellen.
Für a>0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f_{a}(x)=\infty [/mm] - also keine Asymptote
Aber für a<0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f_{a}(x)=0 [/mm] - also ist die Asymptote für diesen Fall y=0
Das ganze mit [mm] -\infty
[/mm]
Für a>0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} f_{a}(x)=0 [/mm] - existiert wieder die Asymptote y=0 (also ist dann keine Fallunterscheidung wegen a mehr notwendig)
Aber für a<0
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} f_{a}(x)=\infty [/mm] - keine Asymptote
y=0 ist also eine Asymptote.
Weitere Asymptoten gibt es nicht, da keine Polstellen existieren (gibts dann nur noch bei gebrochen rationalen Funktionen).
Soviel dazu.
Dann ist noch der Wertebereich zu klären:
Wenn a>0, dann gibt es nach oben keine Beschränkung.
Nach unten aber schon (liegt glaub ich bei -1, musst du mal Extrema ausrechnen).
Für a<0 ist es dann genau umgekehrt.
Ich hoffe ich konnte dir so gut es geht weiterhelfen.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Sa 12.05.2007 | | Autor: | BaldABI |
Dank dir! Warst eine große Hilfe!
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