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| Aufgabe | Es sei [mm] $(X_i)_i \ge [/mm] 1$ eine Folge von Bernoulli-Experimenten mit immer der selben Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
Es bezeichne [mm] $S_i$ [/mm] die Anzahl der Misserfolge zwischen dem $(i-1)$-ten und dem $i$-ten Erfolg, sinngemäß natürlich [mm] $S_1$ [/mm] die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg.
Bestimme die gemeinsame Verteilung von [mm] $S_1, [/mm] ..., [mm] S_n$ [/mm] und zeige, dass sie unabhängig sind. Bestimme die marginalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. |
So schön, so gut, irgendwie mangelt es bei mir hier an Praxis.
Ich verssuche den Sachverhalte so zu modellieren:
Es bezeichne [mm] $M_i$ [/mm] die Anzhal der Misserfolge vor dem $i$-ten Erfolg. Hierfür weiss ich, dass [mm] $M_i$ [/mm] negativ-binomial verteilt ist, also es gilt [mm] $P(M_i=m_i)=\vektor{i + m_i +1 \\ m_i} (1-p)^{m_i} p^i$.
[/mm]
Dies hilft mir bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der [mm] $S_i$, [/mm] denn [mm] $S_i [/mm] = [mm] M_i [/mm] - [mm] M_{i-1}$
[/mm]
So weit, so gut. Nun will ich die gemeinsame Verteilung bestimmen:
Also [mm] $P(S_1=s_1, [/mm] ..., [mm] S_k=s_k)=P(M_1=m_1, M_2 [/mm] - [mm] M_1=m_2 [/mm] - [mm] m_1, [/mm] ..., [mm] M_k [/mm] - [mm] M_{k-1}=m_k [/mm] - [mm] m_{k-1})$.
[/mm]
Nun weiss ich aber nicht weiter! Gut, es gibt den Faltungssatz und es gibt die transformationsformel ... aber wie wende ich sie hier an?
Ich bin irgendwie W-theori-doof, wenn es so etwas gibt! Bitte helft mir weiter. Ich glaube langsam, ich werde wegen W-theorie durchs Examen fallen .... :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 07.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Matthias,
nicht verzweifeln, Hilfe naht 
Ich unterstelle, dass die Experimente unabhaengig durchgefuehrt werden. Schauen wir uns einmal [mm] $S_1$ [/mm] an. [mm] $S_1$ [/mm] kann die Werte 0,1,2,... annehmen. Es gilt [mm] $P(S_1=0)=P(X_1=1)=p$, $P(S_1=1)=P((X_1=0)\cap(X_2=1))=(1-p)p$, [/mm] ..., [mm] $P(S_1=s_1)=P((X_1=0)\cap\dots\cap(X_{s_1}=0)\cap(X_{s_1+1}=1))=(1-p)^{s_1}p$.
[/mm]
Nachdem der erste Treffer aufgetreten ist, geht das gleiche "Spielchen" erneut los, so dass [mm] $S_2$ [/mm] dieselbe (geometrische) Verteilung besitzt. Beachte, dass [mm] $S_2$ [/mm] unabhaengig ist von [mm] $S_1$, [/mm] da die
Bernoulli-Experimente kein Gedaechtnis besitzen. Allgemein besitzen die Zufallsvariablen [mm] $S_1,S_2,...,S_n$ [/mm] eine geometrische (Rand-)Verteilung, und sie sind unabhaengig. Mithin ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von [mm] $(S_1,S_2,...,S_n)$ [/mm] gegeben durch
[mm] $P(S_1=s_1,S_2=s_2,...,S_n=s_n)=(1-p)^{s_1+s_2+\dots+s_n}p^n$
[/mm]
fuer [mm] $s_1,s_2,...,s_n=0,1,2,...$
[/mm]
hth
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