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Forum "Uni-Stochastik" - Gemeinsame Wahrscheinlichkeit
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Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Do 23.01.2014
Autor: Sandkastenrocker

Aufgabe
Eine ideale Münze wird 4mal geworfen.
Ergebnisraum: [mm] \Omega [/mm] = [mm] {[w_1, w_2 , w_3 , w_4) | w_i \in {W,Z} für i=1,2,3,4}. [/mm]

[mm] X=\begin{cases} 0, & \mbox{falls beim 1. Wurf W auftrifft} \\ 1, & \mbox{falls beim 1. Wurf Z auftrifft } \end{cases} [/mm]
Y= |A-B| mit A:=Anzahl Z und B:= Anzahl W

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y sowie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung.

b) Prüfen Sie X und Y auf stochastische Unabhängigkeit

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y und X*Y

d) Berechnen Sie E(X+Y) und Var(X+Y)


zu a)   Für Y: |A-B| = 0 oder 2 oder 4

X              |   0    |     1               Y        |       0      |    2    |       4
-------------------------------         ---------------------------------------------
[mm] P(X=x_i) [/mm]   |  0,5  |   0,5            [mm] P(Y=y_i) [/mm] |   0,375  |   0,5   |   0,125


        |     0        |      2    |    4      
-----------------------------------------
0      | 0,1875   |   0,25  |    0        
1      | 0,1875   |   0,25  | 0,0625    
------------------------------------------

b) P ( X [mm] \cap [/mm] Y) = P(X) * P(Y)  = P(X=0) * P(Y=4) = 0,0625 [mm] \not= [/mm] o

also sind X und Y stochastisch abhängig!

c) ich habe absolut keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss.

d) E(X+Y) = E(x) + E(Y) mit E(X)=0,5 und E(Y)=1,5  [mm] \Rightarrow [/mm] E(X+Y) = 2
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) mit Var(X)=0,25  und Var(Y)=1,75 [mm] \Rightarrow [/mm] Var(X+Y)=2

Ist das soweit richtig?
lg

        
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Do 23.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


vorweg: Das sieht ja grausig aus. Bemühe dich das nächste mal das doch bitte etwas sauberer aufzuschreiben.

> zu a)   Für Y: |A-B| = 0 oder 2 oder 4

[ok]

Fassen wir deine Tabellen mal kürzer und schöner zusammen:

$P(X=0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = P(X=1)$  
$P(Y=0) = 0,375$
$P(Y=2) = 0,5$
$P(Y=4) = 0,125$

Das stimmt auch alles.


  

> b) P ( X [mm]\cap[/mm] Y) = P(X) * P(Y)  = P(X=0) * P(Y=4) = 0,0625
> [mm]\not=[/mm] o
>  
> also sind X und Y stochastisch abhängig!

Hier machst du Blödsinn, weil deine Tabelle falsch ist. Offensichtlich gilt $P(X=0, Y=4) = [mm] P\left(\{(W,W,W,W)\}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{16} \not= [/mm] 0$

Und insbesondere also:

$P(X=0, Y=4) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{8} [/mm] = P(X=0)*P(X=4)$

Also ist dein Gegenbeispiel keins.

Desweiteren ist deine Notation schrecklich. Was soll ein Ausdruck wie P(X) sein? Das macht mathematisch keinen Sinn. P ist ein W-Maß und bildet Mengen ab, X ist eine Zufallsvariable und offensichtlich keine Menge. Also kann P auch nicht drauf angewendet werden.

Sauber aufschreiben!

Und dann nochmal.

> c) ich habe absolut keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss.

Wenn du die gemeinsame Verteilung kennst, kannst du solche Ausdrücke doch problemfrei berechnen.
Mach dir klar, welche Werte X+Y und X*Y annehmen können und berechne dann die Wahrscheinlichkeit über die Wahrscheinlichkeiten der Kombinationsmöglichkeiten.

> d) E(X+Y) = E(x) + E(Y) mit E(X)=0,5 und E(Y)=1,5  [mm]\Rightarrow[/mm] E(X+Y) = 2

[ok]

>  Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) mit Var(X)=0,25  und Var(Y)=1,75 [mm]\Rightarrow[/mm] Var(X+Y)=2

[notok]

Die Varianz kannst du nur auseinandernehmen, wenn X und Y unabhängig sind. Du hast ja aber heraus, dass X und Y nicht unabhängig sind, dann kannst du das nicht so machen.

Gruß,
Gono.

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Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Fr 24.01.2014
Autor: Sandkastenrocker

Erst mal danke für deinen Anstoß! ;)

Also meine Tabelle war wirklich falsch, ich reiche daher mal schnell nach:

P(X=0 [mm] \cap [/mm] Y= 0)= P(X=1 [mm] \cap [/mm] Y= 0)= [mm] \bruch{3}{16} [/mm]
P(X=0 [mm] \cap [/mm] Y= 2)= P(X=1 [mm] \cap [/mm] Y= 2)= [mm] \bruch{4}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm]
P(X=0 [mm] \cap [/mm] Y= 4)= P(X=1 [mm] \cap [/mm] Y= 4)= [mm] \bruch{1}{16} [/mm]

Daher ist Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Kombinationen Stoachstisch Unabhängig, daher kann die Var(X+Y) mit V(X) + V(Y) ermittelt werden.

Nochmals zu c):

Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y:

0 für X=0 und Y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=0)= [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
1 für X=1 und Y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=1)= [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
2 für X=0 und Y=2 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=2)= [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
3 für X=1 und Y=2 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=3)= [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
4 für X=0 und Y=4 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=4)= [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
5 für X=1 und Y=4 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=5)= [mm] \bruch{1}{6} [/mm]

Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?

Wenn das so ist, ist die X*Y auch klar..

Danke schonmal ;)

Ich hoffe meine Notation ist nun übersichtlicher und genauer..

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Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Fr 24.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Erst mal danke für deinen Anstoß! ;)
>  
> Also meine Tabelle war wirklich falsch, ich reiche daher
> mal schnell nach:
>  
> P(X=0 [mm]\cap[/mm] Y= 0)= P(X=1 [mm]\cap[/mm] Y= 0)= [mm]\bruch{3}{16}[/mm]

[ok]

>  P(X=0 [mm]\cap[/mm] Y= 2)= P(X=1 [mm]\cap[/mm] Y= 2)= [mm]\bruch{4}{16}[/mm] = [mm]\bruch{1}{8}[/mm]

Aha, seit wann gilt [mm] $\bruch{4}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}$? [/mm]

> Daher ist Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für
> alle Kombinationen Stoachstisch Unabhängig, daher kann die
> Var(X+Y) mit V(X) + V(Y) ermittelt werden.
>  
> Nochmals zu c):
>  
> Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y:
>  
> 0 für X=0 und Y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] P(X+Y=0)= [mm]\bruch{1}{6}[/mm]

Wie kann da [mm] \bruch{1}{6} [/mm] rauskommen, wenn du doch gerade für das Ereignis
"X=0 und Y=0" eine andere Wahrscheinlichkeit herausbekommen hast?
Der Rest ist dann natürlich Mumpitz

> Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also
> die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und
> dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von
> insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?

Ja, aber deine Folgerung für die WKeit stimmt dann leider nicht.

Gruß,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Fr 24.01.2014
Autor: Sandkastenrocker

Hallo Gono

> Aha, seit wann gilt [mm]\bruch{4}{16} = \bruch{1}{8}[/mm]?

Jap, an der Stelle habe ich mich vertippt. Ist klar, dass
[mm] \bruch{4}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist!



> > Nochmals zu c):
>  >  
> > Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y:
>  >  
> > 0 für X=0 und Y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] P(X+Y=0)= [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>  
> Wie kann da [mm]\bruch{1}{6}[/mm] rauskommen, wenn du doch gerade
> für das Ereignis
> "X=0 und Y=0" eine andere Wahrscheinlichkeit herausbekommen
> hast?

(*) Also nehme ich für P(X+Y=0) = P( X=0 [mm] \cap [/mm] Y=0) = [mm] \bruch{3}{16} [/mm] usw?


Naja wenn die Aussage:

> > Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also
> > die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und
> > dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von
> > insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?

stimmt, dann ist die neue Überlegung ja oben(*) falsch!?
wie sieht das dann für X*Y aus??

Sry, wenn ich mich so dumm anstelle aber hab das vorher nie irgendwo gesehen...;)

Gruß


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Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Fr 24.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> (*) Also nehme ich für P(X+Y=0) = P( X=0 [mm]\cap[/mm] Y=0) = [mm]\bruch{3}{16}[/mm] usw?

[ok]


> Naja wenn die Aussage:
>  
> > > Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also
> > > die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und
> > > dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von
> > > insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?
>  
> stimmt, dann ist die neue Überlegung ja oben(*) falsch!?

Nein. Beides stimmt. Du schaust erst, welche Kombinationsmöglichkeiten es gibt und bestimmst dann die Gesamtwahrscheinlichkeit aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Kombinationen.

Analog eben bei X*Y, da wird es aber interessanter.

Gruß,
Gono.

Bezug
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