Gemischt quadratische Gleichun < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Sa 12.05.2007 | | Autor: | baniaf |
| Aufgabe | Bei welchen Werten der Formvariablen t hat die Gleihung genau zwei (eine, keine) Lösungen?
3t²x²+4tx+1=0 |
Ich weiß nur, dass man die Formel D=b²-4ac verwenden muss. Kann mir jemand erklären, wie das geht?
Vielen Dank,
Baniaf
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Hallo Fabian!
Mit der sogenannten p-q-Formel kann man die Lösungen einer quadratischen Gleichung [mm] x^{2}+px+q [/mm] = 0 mit [mm]p,q \in \IR[/mm] ermitteln. Es gilt nämlich:
[mm]x_{1/2} = -\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^{2}}{4} - q}[/mm]
sind die (potentiellen) Lösungen dieser Gleichung.
Diese Lösungen sind potentiell, da es sehr darauf ankommt, was unter der Wurzel steht. Das, was unter der Wurzel steht, nennen wir es D, ist
[mm]D = \bruch{p^{2}}{4} - q[/mm]
und heißt Diskriminate. Ist D < 0, kann man die Wurzel aus D nicht ziehen, da sie für negative Zahlen nicht definiert ist. Ist D = 0, so hat die Gleichung nur eine Lösung, nämlich [mm]x = -\bruch{p}{2}[/mm]. Ist jedoch D > 0, so gibt es zwei Lösungen, nämlich
[mm]x_1 = -\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p^{2}}{4} - q}[/mm] und [mm]x_2 = -\bruch{p}{2}-\wurzel{\bruch{p^{2}}{4} - q}[/mm]
> Bei welchen Werten der Formvariablen t hat die Gleihung
> genau zwei (eine, keine) Lösungen?
> 3t²x²+4tx+1=0
Es gibt zunächst zwei Fälle zu unterscheiden:
Fall 1: t = 0
Dann lautet die Gleichung 1 = 0. Die ist natürlich nicht erfüllbar, also hat die Gleichung für t = 0 keine Lösung.
Fall 2: t [mm] \not= [/mm] 0
Dann kann man beide Seiten der Gleichung durch [mm] 3t^2 [/mm] teilen. Es kommt heraus:
[mm]x^{2}+\bruch{4}{3t}x+\bruch{1}{3t^{2}} = 0[/mm]
Setzen wir jetzt [mm]p = \bruch{4}{3t}[/mm] und [mm]q = \bruch{1}{3t^{2}}[/mm], so gilt nach der p-q-Formel
[mm]x_{1/2} = -\bruch{2}{3t}\pm\wurzel{\bruch{4}{9t^{2}} - \bruch{1}{3t^{2}}} = -\bruch{2}{3t}\pm\wurzel{\bruch{4 - 3}{9t^{2}}}= -\bruch{2}{3t}\pm\wurzel{\bruch{1}{9t^{2}}}[/mm]
Es ist also [mm]D=\bruch{1}{9t^{2}}[/mm]. Man kann gleich sehen, daß D für jede von 0 verschiedene Wahl von t größer als 0 ist. Es gibt also für [mm]t \in \IR\setminus\{0\}[/mm] die beiden Lösungen
[mm]x_1 = -\bruch{2}{3t}+\bruch{1}{3t} = -\bruch{1}{3t} [/mm] und [mm]x_2 = -\bruch{2}{3t}-\bruch{1}{3t} = -\bruch{1}{t} [/mm]
Für t = 0 hat unsere quadratische Gleichung keine Lösung, für t [mm] \not= [/mm] 0 die angegebenen zwei Lösungen.
LG
Karsten
PS.: (Korrektur bzw. Ergänzung)
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet [mm]ax^{2}+bx+c = 0[/mm] mit [mm]a,b,c \in \IR[/mm]. Ist a [mm] \not= [/mm] 0, kann man beide Seiten der Gleichung durch a teilen:
[mm]ax^{2}+bx+c = 0 \gdw x^{2}+\bruch{b}{a}x+\bruch{c}{a} = 0[/mm]
Jetzt machen wir eine quadratische Ergänzung:
[mm]x^{2}+\bruch{b}{a}x+\bruch{c}{a} = x^{2}+\bruch{b}{a}x+\bruch{b^{2}}{4a^{2}}-\bruch{b^{2}}{4a^{2}}+\bruch{c}{a}[/mm]
Und das können wir mit der 1. binomischen Formel umformen zu
[mm]x^{2}+\bruch{b}{a}x+\bruch{b^{2}}{4a^{2}}-\bruch{b^{2}}{4a^{2}}+\bruch{c}{a} = (x+\bruch{b}{2a})^{2} -\bruch{b^{2}}{4a^{2}}+\bruch{c}{a} [/mm]
Also haben wir
[mm]ax^{2}+bx+c = 0 \gdw (x+\bruch{b}{2a})^{2} -\bruch{b^{2}}{4a^{2}}+\bruch{c}{a} = 0 \gdw (x+\bruch{b}{2a})^{2} = \bruch{b^{2}}{4a^{2}}-\bruch{c}{a} [/mm]
Ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten, so bekommt man
[mm]x_{1,2}+\bruch{b}{2a} = \wurzel{\bruch{b^{2}}{4a^{2}}-\bruch{c}{a}}[/mm]
und damit
[mm]x_{1,2} = -\bruch{b}{2a} \pm \wurzel{\bruch{b^{2}}{4a^{2}}-\bruch{c}{a}}[/mm]
Das formen wir weiter um:
[mm]x_{1,2} = -\bruch{b}{2a} \pm \wurzel{\bruch{b^{2}}{4a^{2}}-\bruch{c}{a}} = -\bruch{b}{2a} \pm \wurzel{\bruch{b^{2}}{4a^{2}}-\bruch{4ac}{4a^{2}}} = -\bruch{b}{2a} \pm \wurzel{\bruch{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} = -\bruch{b}{2a} \pm \bruch{\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}} = \bruch{-b \pm \wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}[/mm]
Das ist die sogenannte "Mitternachtsformel". Die Diskriminante in dieser Formel ist [mm]D=b^{2}-4ac[/mm]. Auch da muß untersucht werden, wann D < 0 ist (dann keine Lösung), D = 0 ist (dann eine Lösung) und D > 0 ist (dann zwei Lösungen).
In der quadratischen Gleichung aus der Aufgabe sind [mm]a=3t^{2}[/mm], [mm]b=4t[/mm] und [mm]c=1[/mm]. Rechne die Mitternachtsformel nochmal mit diesen Werten durch.
Kleiner Tip am Rande: Wenn Du [mm]p = \bruch{b}{a}[/mm] und [mm]q = \bruch{c}{a}[/mm] setzt, kommst Du auf die p-q-Formel. Rechne das mal zur Übung aus. Dann siehst Du auch meine erste Lösung ein.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:51 Sa 12.05.2007 | | Autor: | baniaf |
Danke :)
aber wir haben das mit der Formel
[img]
gelernt, also dass die Diskriminante b²-4ac ist...
kannst du es mir nochmal mit dieser Formel erklären?
Vielen Dank, Fabian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Pumba |
Hallo, also wir machen das so:
Hat man eine Gleichung der Form: [mm] ax^{2}+bx+c [/mm] bei der a, b und c gegeben sind ,so wie du, dann wendet man die Mitternachtsformel an, diese lautet:
[mm] x_{1},x_{2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b^{2}-4*a*c}}{2a}
[/mm]
Wenn dann die Diskriminante D, das ist in der Mitternachtsformel,
[mm] b^{2}-4*a*c [/mm]
-ein Ergebnis bringt, das größer als 0 ist, dann hat die Anfangsgleichung zwei Lösungen für x, da man aus der Lösung der Diskriminante die Wurzel ziehen muss und dann [mm] \pm [/mm] rechnen muss [mm] \Rightarrow [/mm] für + eine Lösung und für - eine Lösung
-ein Ergebnis bringt, das gleich 0, dann hat die Anfangsgleichung eine Lösung, da man später die Wurzel ziehen muss und die wurzel aus 0 immer 0 ist und eine Zahl immer das gleiche ergibt, wenn man + oder - 0 rechnen (Bsp.: 5+0=5; 5-0=5).
-ein Ergebnis bringt, das kleiner 0, dann hat die Anfangsgleichung keine Lösung, da es die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gibt.
Jetzt zu deiner Aufgabe:
1. Wenn die Anfangsgleichung 2 Lösungen haben soll , dann muss sein:
[mm] b^{2}-4*a*c>0
[/mm]
[mm] (4*t)^{2}-4*3*t^{2}*1>0
[/mm]
[mm] 16*t^{2}-12*t^{2}>0
[/mm]
[mm] 4*t^{2}>0
[/mm]
[mm] t^{2}>0
[/mm]
t>0
Wenn du also für t>0 einsetzt, dann hat deine Anfangsgleichung genau 2 Lösungen.
2. Wenn die Anfangsgleichung 1 Lösung haben soll , dann muss sein:
[mm] b^{2}-4*a*c=0
[/mm]
[mm] (4*t)^{2}-4*3*t^{2}*1=0
[/mm]
[mm] 16*t^{2}-12*t^{2}=0
[/mm]
[mm] 4*t^{2}=0
[/mm]
[mm] t^{2}=0
[/mm]
t=0
Wenn du also für t=0 einsetzt, dann hat deine Anfangsgleichung genau 1 Lösung.
3. Wenn die Anfangsgleichung keine Lösung haben soll , dann muss sein:
[mm] b^{2}-4*a*c<0
[/mm]
[mm] (4*t)^{2}-4*3*t^{2}*1<0
[/mm]
[mm] 16*t^{2}-12*t^{2}<0
[/mm]
[mm] 4*t^{2}<0
[/mm]
[mm] t^{2}<0
[/mm]
t<0
Wenn du also für t<0 einsetzt, dann hat deine Anfangsgleichung genau keine Lösung.
Hoffe so ists verständlich
Pumba
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Hallo Pumba!
> 1. Wenn die Anfangsgleichung 2 Lösungen haben soll , dann
> muss sein:
>
> [mm]b^{2}-4*a*c>0[/mm]
> [mm](4*t)^{2}-4*3*t^{2}*1>0[/mm]
> [mm]16*t^{2}-12*t^{2}>0[/mm]
> [mm]4*t^{2}>0[/mm]
> [mm]t^{2}>0[/mm]
> t>0
Das stimmt so nicht. Aus [mm]t^{2}>0[/mm] folgt [mm]|t|>0[/mm], d.h. [mm]t \in \IR\setminus\{0\}[/mm]. Für t [mm] \not= [/mm] 0 hat die Gleichung zwei Lösungen.
> 2. Wenn die Anfangsgleichung 1 Lösung haben soll , dann
> muss sein:
>
> [mm]b^{2}-4*a*c=0[/mm]
> [mm](4*t)^{2}-4*3*t^{2}*1=0[/mm]
> [mm]16*t^{2}-12*t^{2}=0[/mm]
> [mm]4*t^{2}=0[/mm]
> [mm]t^{2}=0[/mm]
> t=0
>
> Wenn du also für t=0 einsetzt, dann hat deine
> Anfangsgleichung genau 1 Lösung.
Nö. Wenn t=0 ist, wird aus der Gleichung [mm]3t^{2}x^{2}+4tx+1 = 0[/mm] die Gleichung 1 = 0. Und die hat keine Lösung. Im Falle t=0 gibt es für die quadratische Gleichung keine Lösung.
> 3. Wenn die Anfangsgleichung keine Lösung haben soll , dann
> muss sein:
>
> [mm]b^{2}-4*a*c<0[/mm]
> [mm](4*t)^{2}-4*3*t^{2}*1<0[/mm]
> [mm]16*t^{2}-12*t^{2}<0[/mm]
> [mm]4*t^{2}<0[/mm]
> [mm]t^{2}<0[/mm]
> t<0
Die Ungleichung [mm]t^{2}<0[/mm] besitzt in [mm] \IR [/mm] keine Lösung, denn es ist [mm]t^{2} \ge 0[/mm] für jedes [mm]t \in \IR[/mm].
Grüße
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Pumba |
ok, Entschuldigung, ich hab meine Lösungen nicht nachgerechnet
Pumba
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Pumba |
Hallo,
mein 2ter Teilversuch:
Für zwei Lösungen:
1. [mm] t=-\bruch{1}{3}:x
[/mm]
2. [mm] t=-\bruch{1}{x}
[/mm]
Ich hab das jetzt so gemacht, dass ich [mm] (t*x)^{2} [/mm] durch [mm] y^{2} [/mm] und [mm] (t\*x) [/mm] duch y ersetze hab. Also Substitution angewand hab. dann habe ich mit der Mitternachtsformel Lösungen für y rausgefunden. Das waren [mm] y_{1}=-\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] y_{2}=-1. [/mm] Dann ist [mm] t_{1}=-\bruch{1}{3}:x [/mm] und [mm] t_{2}=-1:3
[/mm]
Darf ich das so, die Antwort ist ja jetzt richtig, aber gilt das?
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> 1. [mm]t=-\bruch{1}{3}:x[/mm]
> 2. [mm]t=-\bruch{1}{x}[/mm]
> Ich hab das jetzt so gemacht, dass ich [mm](t*x)^{2}[/mm] durch
> [mm]y^{2}[/mm] und [mm](t\*x)[/mm] duch y ersetze hab. Also Substitution
> angewand hab. dann habe ich mit der Mitternachtsformel
> Lösungen für y rausgefunden. Das waren [mm]y_{1}=-\bruch{1}{3}[/mm]
> und [mm]y_{2}=-1.[/mm]
Eine Substituion ist oft eine geschickte Sache, die einem einiges erspart. Bis hierhin okay.
> Dann ist [mm]t_{1}=-\bruch{1}{3}:x[/mm] und
> [mm]t_{2}=-1:3[/mm]
Da Du die Nullstellen der quadratischen Gleichung herausfinden willst, mußt du nach x umformen:
[mm]x_{1}=-\bruch{1}{3t}[/mm] und [mm]x_{2}=-\bruch{1}{3}[/mm]
LG
Karsten
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