Gemischte Aufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | An welcher Stelle a hat die Ableitung f'(a) den angegebenen Wert?
c) [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] ; Wert [mm] \bruch{1}{9}[16;\bruch{1}{2}; [/mm] 3] |
| Aufgabe 2 | | Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion [mm] f(x)=x^{3}, [/mm] die parallel ist zu der Geraden mit der Gleichung b) [mm] y=\bruch{3}{4}x-7 [/mm] |
->Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.<-
Zu Aufgabe 1 habe ich bereits folgendes gerechnet:
[mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] \gdw f'(a)=\bruch{1}{2\wurzel{a}} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{9}=\bruch{1}{2\wurzel{a}} |\*2
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{2}{9}=\bruch{1}{\wurzel{a}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{9}=\wurzel{a}^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{9}=a^{\bruch{1}{2}^{-1}} |{\bruch{1}{2}^{-1}} [/mm] ergibt laut TR 2
[mm] \gdw \bruch{2}{9}=a^{2} |\wurzel
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{\bruch{2}{9}}=a
[/mm]
Aber das Ergebnis kann nicht stimmen, wenn man die Probe macht und die [mm] \wurzel{\bruch{2}{9}} [/mm] für a bei [mm] \bruch{1}{2\wurzel{a}} [/mm] einsetzt kommt nicht [mm] \bruch{1}{9} [/mm] raus!?
Zu Aufgabe 2)
Mir fehlt eigentlich jeglicher Ansatz, ich habe mir ebend nur gedacht, dass die Steigung ja bei beiden Tangenten gleich sein muss als [mm] m=\bruch{3}{4} [/mm] und die Ableitung der [mm] f(x)=x^{3} [/mm] ist ja bekanntlich [mm] f'(a)=3x^{2}. [/mm] Bin ich vielleicht schon auf dem richtigen Weg?
Schonmal vielen Dank für eure Mühen
Gruß
chris1911
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> An welcher Stelle a hat die Ableitung f'(a) den angegebenen
> Wert?
> c) [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] ; Wert [mm]\bruch{1}{9}[16;\bruch{1}{2};[/mm]
> 3]
> Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der
> Funktion [mm]f(x)=x^{3},[/mm] die parallel ist zu der Geraden mit
> der Gleichung b) [mm]y=\bruch{3}{4}x-7[/mm]
> ->Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.<-
>
> Zu Aufgabe 1 habe ich bereits folgendes gerechnet:
> [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
> [mm]\gdw f'(a)=\bruch{1}{2\wurzel{a}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{9}=\bruch{1}{2\wurzel{a}} |\*2[/mm]
>
> [mm]\gdw\bruch{2}{9}=\bruch{1}{\wurzel{a}}[/mm]
jetzt auf beiden seiten den kehrwert bilden, und dann die wurzel ziehen, der rest is murks
> [mm]\gdw \bruch{2}{9}=\wurzel{a}^{-1}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{2}{9}=a^{\bruch{1}{2}^{-1}} |{\bruch{1}{2}^{-1}}[/mm]
> ergibt laut TR 2
> [mm]\gdw \bruch{2}{9}=a^{2} |\wurzel[/mm]
> [mm]\gdw \wurzel{\bruch{2}{9}}=a[/mm]
>
> Aber das Ergebnis kann nicht stimmen, wenn man die Probe
> macht und die [mm]\wurzel{\bruch{2}{9}}[/mm] für a bei
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{a}}[/mm] einsetzt kommt nicht [mm]\bruch{1}{9}[/mm]
> raus!?
>
> Zu Aufgabe 2)
> Mir fehlt eigentlich jeglicher Ansatz, ich habe mir ebend
> nur gedacht, dass die Steigung ja bei beiden Tangenten
> gleich sein muss als [mm]m=\bruch{3}{4}[/mm] und die Ableitung der
> [mm]f(x)=x^{3}[/mm] ist ja bekanntlich [mm]f'(a)=3x^{2}.[/mm] Bin ich
> vielleicht schon auf dem richtigen Weg?
genau, die steigung muss stimmen, aber auch die funktionswerte!
also t(a)=f(a) und wie du schon festgestellt hast auch f'(a)=g'(a)
>
> Schonmal vielen Dank für eure Mühen
>
> Gruß
> chris1911
gruß tee
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Zu Aufgabe 1) ok, dann kommt immernoch [mm] \wurzel{\bruch{2}{9}} [/mm] raus doch das klappt ja mit der Probe nicht!? Oder darf man die [mm] \wurzel{\bruch{2}{9}} [/mm] nicht in die [mm] \bruch{1}{2\wurzel{a}} [/mm] einsetzen. Wenn doch, dann muss doch aber als Ergbenis [mm] \bruch{1}{9} [/mm] rauskommen oder mache ich irgendeinen Denkfehler?
Also die Probe wäre ja wahr wenn:
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{\wurzel{\bruch{2}{9}}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm]
Aber das kommt ja nicht raus!?
Trotzdem schonmal vielen Dank an fencheltee
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> Zu Aufgabe 1) ok, dann kommt immernoch
> [mm]\wurzel{\bruch{2}{9}}[/mm] raus doch das klappt ja mit der Probe
> nicht!? Oder darf man die [mm]\wurzel{\bruch{2}{9}}[/mm] nicht in
> die [mm]\bruch{1}{2\wurzel{a}}[/mm] einsetzen. Wenn doch, dann muss
> doch aber als Ergbenis [mm]\bruch{1}{9}[/mm] rauskommen oder mache
> ich irgendeinen Denkfehler?
sorry, ich meinte kehrwert bilden und quadrieren, nicht wurzelziehen 
dann kommst du auf ein a von [mm] (9/2)^2
[/mm]
>
> Also die Probe wäre ja wahr wenn:
>
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{\wurzel{\bruch{2}{9}}}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{9}[/mm]
>
> Aber das kommt ja nicht raus!?
>
> Trotzdem schonmal vielen Dank an fencheltee
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Danke Aufgabe 1 ist erledigt, jetzt zu Aufgabe 2:
Jetzt habe ich den Tipp mit den selben Funktionswerten versucht umzusetzen! Also habe ich folgendes gemacht:
-einen beliebigen x-Wert genommen zb. 3 und den in [mm] y=\bruch{3}{4}x-7 [/mm] eingesetzt um y Wert rauszubekommen, Ergebnis [mm] P(3|-\bruch{19}{4})
[/mm]
-dann dasselbe mit [mm] f'(a)=3x^{2} [/mm] wiederholt (also mit x=3), Ergebnis [mm] P_{2}(3|27)
[/mm]
leider weiß ich nur noch nicht genau, wie mich das weiterbringen kann?
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> Danke Aufgabe 1 ist erledigt, jetzt zu Aufgabe 2:
> Jetzt habe ich den Tipp mit den selben Funktionswerten
> versucht umzusetzen! Also habe ich folgendes gemacht:
> -einen beliebigen x-Wert genommen zb. 3 und den in
> [mm]y=\bruch{3}{4}x-7[/mm] eingesetzt um y Wert rauszubekommen,
> Ergebnis [mm]P(3|-\bruch{19}{4})[/mm]
> -dann dasselbe mit [mm]f'(a)=3x^{2}[/mm] wiederholt (also mit x=3),
> Ergebnis [mm]P_{2}(3|27)[/mm]
> leider weiß ich nur noch nicht genau, wie mich das
> weiterbringen kann?
nein erst die x-werte bestimmen, an denen der graph f(x) die gleiche steigung hat wie g(x).
danach die gefundene(n) x-stelle(n) in f(x) einsetzen. daraus bestimmst du dann eine parallele zu g(x) die so aussieht: 3/4*x+b
dieses b ist dann durch gleichsetzen mit f(x) zu bestimmen!
gruß tee
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Es tut mir sehr leid, dass ich schon wieder nachfragen muss und mich grad so dumm anstelle (normalerweise verstehe ich mathe)
Generelle Frage welche Gleichung ist bei Dir/Ihnen f(x) und welche g(x)?
[mm] f(x)=\bruch{3}{4}x-7 [/mm] ?
[mm] g(x)=3x^{2} [/mm] ?
Wie bestimme ich den die x-Werte an denen die Steigung gleich ist, weil [mm] g(x)=3x^{2} [/mm] ist ja immer die Steigung einer Tangente in einem bestimmten Punkt und bei f(x) ist die Steigung doch [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] also muss ich jetzt irgendwie rumprobieren bei welchem x sowohl bei [mm] 3x^{2} [/mm] als auch bei [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] dasselbe rauskommt, oder geht das irgendwie rechnerisch?
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> Es tut mir sehr leid, dass ich schon wieder nachfragen muss
> und mich grad so dumm anstelle (normalerweise verstehe ich
> mathe)
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> Generelle Frage welche Gleichung ist bei Dir/Ihnen f(x) und
> welche g(x)?
> [mm]f(x)=\bruch{3}{4}x-7[/mm] ?
> [mm]g(x)=3x^{2}[/mm] ?
ich hatte es erst andersherum gedacht, da f(x) vorgegeben war.. aber die tangente kannst du natürlich auch t(x) oder so nennen
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> Wie bestimme ich den die x-Werte an denen die Steigung
> gleich ist, weil [mm]g(x)=3x^{2}[/mm] ist ja immer die Steigung
> einer Tangente in einem bestimmten Punkt und bei f(x) ist
> die Steigung doch [mm]\bruch{3}{4}x[/mm] also muss ich jetzt
> irgendwie rumprobieren bei welchem x sowohl bei [mm]3x^{2}[/mm] als
> auch bei [mm]\bruch{3}{4}x[/mm] dasselbe rauskommt, oder geht das
> irgendwie rechnerisch?
die aufgabe verlangte eine parallele von t(x) solle tangente von [mm] x^3 [/mm] werden.
also irgendein t(x)=3/4*x+b sei die tangente
dann müssen gelten:
[mm] f(x_0)=t(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0)=t'(x_0)
[/mm]
(in worten: dort wo die tangente den graph berührt, müssen beide graphen den gleichen funktionswert an dem berührpunkt und die gleiche steigung haben; eigenschaften einer tangente halt)
[mm] f'(x)=3*x^2
[/mm]
und t'(x)=3/4
die jetzt wie verlangt gleichsetzen.. daraus erhälst du 2 x-werte
die werden nun in f(x)=t(x) [mm] \gdw x^3=3/4*x+b [/mm] eingesetzt und nach b aufgelöst, um dann deine tangentengleichung zu erhalten (steigung is ja bekannt, nun wird nur noch der y-achsenschnittpunkt der tangente gesucht)
gruß tee
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Hallo
Der letzte Satz ist meines Erachtens falsch. Wenn Du die gefundenen x-Werte in f(x) einsetzt, dann hast die Koordinaten der Berührpunkte gefunden. Diese setzt Du dann in die Geradengleichung der Tangenten (y = 3/4*x + b) ein und kannst somit einfach b jeweils berechnen.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 So 07.03.2010 | | Autor: | georg8086 |
Hallo
Die aufgabe ist wohl gelöst!
Gruß
Georg8086
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