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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Genau 2 Körperautomorphismen
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Genau 2 Körperautomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Mi 28.09.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Man zeige dass es in [mm] $\IC$ [/mm] über [mm] $\IR [/mm] $ [mm] ($f:\IC \rightarrow \IC$) [/mm] genau zwei Körperautomorphismen gibt und gebe diese an.



Hallo,


Ein Körperautomorphismus in [mm] $\IC$ [/mm] muss verträglich sein mit der Addition und der Multiplikation und die Bedingung [mm] $\forall [/mm] \ z [mm] \in \IR [/mm] : f(z) = z$ erfüllen.

Für [mm] $f(i^{2})=f(-i)f(-i)= [/mm] f(i)f(i)=f(-1)=-1$ kommen damit nur $i$ und $-i$ in Frage bzw. für die Körperautomorphismen [mm] $z\mapsto \overline{z}$ [/mm] und [mm] $z\mapsto [/mm] z $


Stimmt das so?  


Vielen Dank für jegliche Hilfestellung.

Gruss
kushkush

        
Bezug
Genau 2 Körperautomorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:14 Do 29.09.2011
Autor: Helbig

Hallo,

Du meinst wohl, für $f(i)$ kommt wegen [mm] $f(i)^2=-1$ [/mm] nur $i$ oder $-i$ in Frage? Und dann solltest Du noch nachweisen, daß [mm] $z\to\bar [/mm] z$ tatsächlich ein Körperautomorphismus ist.

Grüße,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Genau 2 Körperautomorphismen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:28 Do 29.09.2011
Autor: kushkush

Hallo Wolfgang,



> wegen [mm] f(i^{2}) [/mm] kommt für f(i)

ja


> zeigen [mm] z\mapsto \overline{z} [/mm]


[mm] $\forall [/mm] z,w [mm] \in \IC, [/mm] z:= a+bi, w:= c+di : \ \ [mm] \overline{zw} [/mm] = [mm] \overline{(a+bi)(c+di)} [/mm] = [mm] \overline{(ac-bd)+(bc+ad)i} [/mm] = (ac-bd)-(bc+ad)i = ac-adi-bd-bci = (a-bi)(c-di) = [mm] \overline{z}\cdot \overline{w} [/mm] $

[mm] $\overline{z+w} [/mm] = [mm] \overline{((a+bi)+(c+di))}= \overline{(a+c)+(b+d)i} [/mm] = (a+c)-(b+d)i = (a-bi)+(c-di) = [mm] \overline{z}+\overline{w}$ [/mm]

> Grüsse

Vielen Dank!!!


Gruss
kushkush

Bezug
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