Genau 2 Körperautomorphismen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Mi 28.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Man zeige dass es in [mm] $\IC$ [/mm] über [mm] $\IR [/mm] $ [mm] ($f:\IC \rightarrow \IC$) [/mm] genau zwei Körperautomorphismen gibt und gebe diese an. |
Hallo,
Ein Körperautomorphismus in [mm] $\IC$ [/mm] muss verträglich sein mit der Addition und der Multiplikation und die Bedingung [mm] $\forall [/mm] \ z [mm] \in \IR [/mm] : f(z) = z$ erfüllen.
Für [mm] $f(i^{2})=f(-i)f(-i)= [/mm] f(i)f(i)=f(-1)=-1$ kommen damit nur $i$ und $-i$ in Frage bzw. für die Körperautomorphismen [mm] $z\mapsto \overline{z}$ [/mm] und [mm] $z\mapsto [/mm] z $
Stimmt das so?
Vielen Dank für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Do 29.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
Du meinst wohl, für $f(i)$ kommt wegen [mm] $f(i)^2=-1$ [/mm] nur $i$ oder $-i$ in Frage? Und dann solltest Du noch nachweisen, daß [mm] $z\to\bar [/mm] z$ tatsächlich ein Körperautomorphismus ist.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:28 Do 29.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Wolfgang,
> wegen [mm] f(i^{2}) [/mm] kommt für f(i)
ja
> zeigen [mm] z\mapsto \overline{z}
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] z,w [mm] \in \IC, [/mm] z:= a+bi, w:= c+di : \ \ [mm] \overline{zw} [/mm] = [mm] \overline{(a+bi)(c+di)} [/mm] = [mm] \overline{(ac-bd)+(bc+ad)i} [/mm] = (ac-bd)-(bc+ad)i = ac-adi-bd-bci = (a-bi)(c-di) = [mm] \overline{z}\cdot \overline{w} [/mm] $
[mm] $\overline{z+w} [/mm] = [mm] \overline{((a+bi)+(c+di))}= \overline{(a+c)+(b+d)i} [/mm] = (a+c)-(b+d)i = (a-bi)+(c-di) = [mm] \overline{z}+\overline{w}$
[/mm]
> Grüsse
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
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