Genauigkeitsintervall < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Zeit, die ein Körper braucht um aus der Ruhelage unter Gravitationseinwirkung eine Distanz s auf einer reibungsfreien ebene unter einem Winkel [mm] \alpha [/mm] zur horizontalen zurückzulegen ist gegeben durch
[mm] T=\wurzel{\left(\bruch{2*s}{g*sin\alpha}\right)}
[/mm]
Seien s und [mm] \alpha=\bruch{\pi}{4} [/mm] bekannt bis auf eine Genauigkeit von [mm] \pm0.3% [/mm] (s) und [mm] \pm0.1% (\alpha). [/mm] Wie groß ist die prozentuale Abweichung für T ? |
Hi,
also der Vorschlag meines Professors war folgender :
Man sagt:
$ [mm] dT=\bruch{\partial T}{\partial \alpha}*d\alpha [/mm] + [mm] \bruch{\partial T}{\partial s}*ds [/mm] $.
Das ganze wird dann durch T geteilt um prozentuale Abweichungen zu bekommen.
Und es ergibt sich:
[mm] \bruch{dT}{T}=\bruch{1}{2}*\left(\bruch{ds}{s}-\bruch{d \alpha}{tan(\alpha}\right)
[/mm]
Nun hat er anstatt da so große fiese Ausdrücke für Ableitungen durcheinander zu teilen noch folgendes vorgeschlagen:
Die Gleichung logarithmieren:
[mm] log(T)=\bruch{1}{2}*(log(2*s)-log(g*sin(\alpha))
[/mm]
ableiten:
[mm] \bruch{1}{T}=\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{s}-\bruch{1}{tan(\alpha)}\right)
[/mm]
Und von dort sollte man auf den gleichen ausdruck kommen wie oben, aber bedeutet das nicht ich multipliziere sowohl mit dT als auch mit [mm] d\alpha [/mm] und ds ? Das kann doch nicht stimmen oder vergesse ich was beim ableiten ?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Di 09.03.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
>
> [mm]T=\wurzel{\left(\bruch{2*s}{g*sin\alpha}\right)}[/mm]
>
> Die Gleichung logarithmieren:
>
> [mm]log(T)=\bruch{1}{2}*(log(2*s)-log(g*sin(\alpha))[/mm]
>
> ableiten:
>
> [mm]\bruch{1}{T}=\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{s}-\bruch{1}{tan(\alpha)}\right)[/mm]
>
> Und von dort sollte man auf den gleichen ausdruck kommen
> wie oben, aber bedeutet das nicht ich multipliziere sowohl
> mit dT als auch mit [mm]d\alpha[/mm] und ds ? Das kann doch nicht
> stimmen oder vergesse ich was beim ableiten ?
>
Ich denke es ist so gemeint. Sei
[mm] f(\alpha,s)=logT(\alpha,s), [/mm] dann gilt in erster Näherung
[mm] \Delta f(\alpha,s)=\bruch{\partial logT(\alpha,s)}{\partial T}*\bruch{\partial T}{\partial \alpha}*\Delta \alpha+\bruch{\partial logT(\alpha,s)}{\partial T}*\bruch{\partial T}{\partial s}* {\Delta s}
[/mm]
wegen
[mm] \bruch{\partial logT(\alpha,s)}{\partial T}=\bruch{1}{T(\alpha,s)}
[/mm]
folgt
[mm] \Delta f(\alpha,s)=\bruch{1}{T(\alpha,s)}*\bruch{\partial T(\alpha , s)}{\partial \alpha}*\Delta \alpha+\bruch{1}{T(\alpha,s)}*\bruch{\partial T(\alpha , s)}{\partial s}* {\Delta s}
[/mm]
und deshalb
[mm] \Delta f(\alpha,s)=\bruch{\Delta {T(\alpha,s)}}{T(\alpha,s)}
[/mm]
Für [mm] \Delta f(\alpha,s) [/mm] gilt
[mm] \Delta f(\alpha,s)=f(\alpha+\Delta\alpha,s+{\Delta s})-f(\alpha,s)
[/mm]
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Mi 10.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo ullim,
danke für deine Antwort, gemeint war folgendes:
Sei z.B. [mm] V=\pi*r^2*h [/mm] und ich habe sowohl bei h als auch r eine ungenauigkeit von [mm] \pm0.1% [/mm] , dann
[mm] log(V)=log(\pi)+2log(r)+log(h)
[/mm]
Jetzt leite ich alles nach V ab, dann kriege ich:
[mm] \bruch{1}{V}=2*\bruch{1 dr}{r dV}+\bruch{1 dh}{h dV}
[/mm]
Durchmultiplizieren mit dV
[mm] \bruch{dV}{V}=2*\bruch{dr}{r}+\bruch{dh}{h}
[/mm]
und [mm] \bruch{dr}{r} [/mm] bzw [mm] \bruch{dh}{h} [/mm] sind dann die prozentualen abweichungen.
lg
|
|
|
|
