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| Aufgabe | Kaiser Friedrich IV, der ein Faible für die Mathematik hatte, machte seinem Hofmathematiker einst ein besonderes Geschenk:
"Er ist ein Mann grosser Begabung und hat mich oft mit seiner Weisheit erfreut. Als Dank will ich ihm ein Stück Land schenken. Dies Land soll exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks haben. Drei Grenzsteine habe ich bereits setzen lassen, durch die jeweils eine Grenze des Grundstückes verlaufen soll. Die Eckpunkte des Grundstückes festzulegen, soll allerdings seiner eigenen Weisheit überlassen sein."
Der Mathematiker, einer der besten seiner Zeit, machte seinem Ruf alle Ehre, und wählte die drei Eckpunkte derart, dass die Fläche des Grundstückes tatsächlich die maximal erreichbare war.
Kurz vor seinem Tod vergrub der Mathematiker seine gesamten Reichtümer an der östlichen Spitze seines Grundstücks. Leider ist das Wissen, wie die genaue Lage des Grundstückes war, im Laufe der Jahrhunderte verloren gegangen. Sehr wohl überliefert sind aber die Stellen, wo der Kaiser einst die Grenzsteine setzen ließ:
N 50 52.743' E 007 03.938'
N 50 50.614' E 007 05.731'
N 50 52.300' E 007 09.926'
Finde die Schätze des Kaisers |
Hallo
Wie soll ich das lösen?
Ich habe bereits die Koordinaten in Gauss-Krüger Korrdinaten umrechnen lassen und per Excel in ein Koordinatensystem zeichnen lassen.
A B C
Hochwert 5638732,84 5634816,41 5638017,67
Rechtswert 2575040,6 2577202,29 2582077,23
Jetzt müsste ich ja durch jeden Punkt eine Gerade bilden, deren Schnittpunkte ein gleichseitiges Dreieck ergeben. Allerdings fehlt mir da der Ansatz, weil ich ja nur einen Punkt habe und somit nicht mal eben so durch y=mx*n eine Geradengleichung bilden kann. Kosinus, Sinus oder Tangens helfen auch nicht, weil ich ja nicht weiß, wie lang die Seiten sind...
Für meinen Geschmack zu viele Unbekannte...
Hätte da jemand eine Idee?
Gruß
little_tricia
PS: Dieses Rätsel ist keine Aufgabe der Uni, sondern rein privat. Sie kommt von der Seite geocaching.com. Der Zielpunkt, der dann ja auch in Gauss-Krüger Korrdinaten steht, muss wieder zurück gerechnet werden und wird dann mithilfe eines GPS Geräts gesucht und dort liegt dann eine Dose, ein "Schatz", wo man dann das erfolgreiche Lösen des Rätsels beweist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 Sa 13.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> PS: Dieses Rätsel ist keine Aufgabe der Uni, sondern rein
> privat. Sie kommt von der Seite geocaching.com. Der
> Zielpunkt, der dann ja auch in Gauss-Krüger Korrdinaten
> steht, muss wieder zurück gerechnet werden und wird dann
> mithilfe eines GPS Geräts gesucht und dort liegt dann eine
> Dose, ein "Schatz", wo man dann das erfolgreiche Lösen des
> Rätsels beweist...
Ebend. Wettbewerbsrätsel würden sofort versteckt werden, ich weiß nicht wie diese geocahing organisiert ist, vielleicht darf man sich hier ja ein paar Tips holen, wie man das lösen kann. Lösen tut es hoffentlich erstmal keiner für dich (ist doch nen Hobby das spiel ...).
SEcki
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> Kaiser Friedrich IV, der ein Faible für die Mathematik
> hatte, machte seinem Hofmathematiker einst ein besonderes
> Geschenk:
> "Er ist ein Mann grosser Begabung und hat mich oft mit
> seiner Weisheit erfreut. Als Dank will ich ihm ein Stück
> Land schenken. Dies Land soll exakt die Form eines
> gleichseitigen Dreiecks haben. Drei Grenzsteine habe ich
> bereits setzen lassen, durch die jeweils eine Grenze des
> Grundstückes verlaufen soll. Die Eckpunkte des
> Grundstückes festzulegen, soll allerdings seiner eigenen
> Weisheit überlassen sein."
>
> Der Mathematiker, einer der besten seiner Zeit, machte
> seinem Ruf alle Ehre, und wählte die drei Eckpunkte
> derart, dass die Fläche des Grundstückes tatsächlich die
> maximal erreichbare war.
>
> Kurz vor seinem Tod vergrub der Mathematiker seine gesamten
> Reichtümer an der östlichen Spitze seines Grundstücks.
> Leider ist das Wissen, wie die genaue Lage des
> Grundstückes war, im Laufe der Jahrhunderte verloren
> gegangen. Sehr wohl überliefert sind aber die Stellen, wo
> der Kaiser einst die Grenzsteine setzen ließ:
>
> N 50 52.743' E 007 03.938'
> N 50 50.614' E 007 05.731'
> N 50 52.300' E 007 09.926'
>
> Finde die Schätze des Kaisers
> Hallo
>
> Wie soll ich das lösen?
> Ich habe bereits die Koordinaten in Gauss-Krüger
> Korrdinaten umrechnen lassen und per Excel in ein
> Koordinatensystem zeichnen lassen.
>
> A B C
> Hochwert 5638732,84 5634816,41 5638017,67
> Rechtswert 2575040,6 2577202,29 2582077,23
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>
> Jetzt müsste ich ja durch jeden Punkt eine Gerade bilden,
> deren Schnittpunkte ein gleichseitiges Dreieck ergeben.
Hallo,
ja, genau.
Ich lasse mal die "Details", wie die Umrechnung der Koordinaten außer Acht - ich habe mir auch keine Gedanken darüber gemacht, ob obige Umrechnung richtig ist.
Mit diesem Prinzip müßtest Du jedenfalls zum Ziel kommen:
Ich lege das Dreieck ABC so in ein kartesisches Koordinatensystem, daß A im Ursprung liegt und B auf der x-Achse.
Das nun gesuchte Dreieck hat überall den Winkel 60°.
Ich hab' jetzt mal den Winkel, den die Gerade durch B mit der x-Achse einschließt, [mm] \alpha [/mm] genannt.
Mithilfe von [mm] \alpha [/mm] und den geforderten 60° kannst Du alle anderen Winkel, die vorkommen, ausdrücken.
Wenn Du Dich jetzt noch daran erinnerst, daß daß die Steigung einer gerade der Tangens des Steigungswinkels ist, kannst Du die drei Geradengleichungen aufstellen und die Schnittpunkte berechnen - bisher alles noch in Abhängigkeit von [mm] \alpha.
[/mm]
Wenn Du die Eckpunkte des gleichseitigen Dreieicks (in Abhängigkeit v. [mm] \alpha) [/mm] hast, kannst du die Fläche des Dreiecks berechnen - in Abhängigkeit von [mm] \alpha.
[/mm]
Jetzt optimiere die Fläche, finde also das beste [mm] \alpha.
[/mm]
Anschließend rechnest Du dann die gefundenen Punkte (logo!) wieder um in Koordinaten, die Deinen Gerätschaften genehm sind.
Viel Spaß und Erfolg beim Rechnen und Suchen!
Gruß v. Angela
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