Geodesic auf Pyramide < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:15 So 31.01.2010 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei eine regelmäßige n-seitige Pyramide, d.h. die Grundfläche der Pyramide ist ein regelmäßiges n-gon. Dabei sei jede Seite der Grundfläche von der Länge x. Die Spitze der Pyramide T liegt über dem Mittelpunkt der Grundfläche in der Höhe y.
Bestimme die Länge des kürzesten Pfades, der die Mitte M einer beliebigen Kante TA mit der Ecke A verbindet und dabei die Pyramide N mal umfährt.
Bestimme die gesuchte Länge als Funktion von x,y,n und N. |
Hallo!
Wir haben dieses Problem als Einführungsproblem einer Vorlesung über Optimierung vorgestellt bekommen. Ich bin mit den Grundlagen der Optimierung vertraut, habe aber überhaupt keine Ahnung wie dieses Problem gelöst werden kann, es erscheint mir unglaublich komplex.
Wie würdet ihr das Problem angehen? Kennt jemand die Lösung des Problems?
Viele Grüße
Papi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 So 31.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Gegeben sei eine regelmäßige n-seitige Pyramide, d.h. die
> Grundfläche der Pyramide ist ein regelmäßiges n-gon.
> Dabei sei jede Seite der Grundfläche von der Länge x. Die
> Spitze der Pyramide T liegt über dem Mittelpunkt der
> Grundfläche in der Höhe y.
>
> Bestimme die Länge des kürzesten Pfades, der die Mitte M
> einer beliebigen Kante TA mit der Ecke A verbindet und
> dabei die Pyramide N mal umfährt.
Also T ist die Spitze. Gt, die Ecke kann ich mir vorstellen, TA auch - aber was zur Hölle soll "N mal umfahren" bedeuten? Heißt das man fängt in M an, geht dann im Uhrzeigersinn n-mal um die Pyramide und soll in A ankommen? Alsoder Pfad soll sich n-mal umwickeln? also kann ich die Grundfläche und die Apitze rausnehmen und dann quasi Homotopieklassen betrachten mit festen End- und Anfangspunkt? Wie dein Betreff schon sagt sind diese Pfade dann stückweise Geodätische. Hilft das? Also wenn y ganz klein ist,x recht groß, macht es doch am meisten Sinn zur Spitze zu gehn, dort n-mal zu drehn, dann zurück zu gehen, oder?
Nun ja, andere Sache: ich bin auf TA in einem Punkt d, ich umlaufe die Pyramide einmal und komme in e an. Wie berechne ich nun die Länge des Pfades? Hierzu kann man die Pyramide mittels ihrer n-Flächen aufwickeln und sich das anschauen - der Pfad ist auf jeder Fläche eine gerade Linie, da sie keine Geo sein muss. Wenn du das gelöst hast, kann man ja mal sehn, ob es besser ist direkt zu A zu gehn, oder aber zur Spitze zu gehn, sie zu umlaufen, und dann zu A zu gehn.
> Wir haben dieses Problem als Einführungsproblem einer
> Vorlesung über Optimierung vorgestellt bekommen. Ich bin
> mit den Grundlagen der Optimierung vertraut, habe aber
> überhaupt keine Ahnung wie dieses Problem gelöst werden
> kann, es erscheint mir unglaublich komplex.
Welche Tools habt ihr denn?
SEcki
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Ja, ich denke so ist da Problem zu verstehen. Man kann sich quasi spiralförmig nach unten winden, wenn n größer als 1 ist, d. h. man mehrere Umfahrungen machen muss.
Wir haben das ganze Problem als "geodesic Problem" präsentiert bekommen - das heißt aber leider nicht, dass ich mir darunter was vorstellen kann. Die einzigen Tools, dich ich bisher habe ist Minimierung von Funktionen, Satz von Weierstrass soweit ich weiß.
Könntest du mir deinen Lösungsansatz etwas genauer ausführen? Was ist mit der Geodätischen gemeint?
Vielen Dank schonmal.
Papi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 02.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 So 31.01.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
hast du schon mal vesucht das Netz der Pyramide zu zeichnen und dir überlegt, wie die kürzeste Verbindung der beiden Punkte auf diesem Netz aussieht, wenn du nur einen Umlauf machst?
Wenn du mehrere Umäufe machen sollst, musst du mehrere Netze der gleichen Pyramide nebenenander zeichnen. Als Verbindung der beiden Punkte erhälst du dann eine Kurve auf dieser Fläche.
Vielleicht hilft dir das weiter!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 07.02.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,die Bearbeitungszeit für deine Frage ist zwar schin abgelaufen, aber ich möche dir trotzdem sizzieren, wie ich mr die Lösung vorstelle:Die Grundfläche der Pyramide ist ein regelmäßigen n-Eck, d.h. sie besteht aus n gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis x und dem Winkel [mm] \alpha=\frac{2\pi}{n} [/mm] an der Spitze. r sei der Schenkel eines solchen Dreiecks. Mit dem Kosinussatz erhälst du [mm] r^2=\frac{x^2}{cos\alpha}. [/mm] Sei k eine Kante der Pyramide, dann gilt: [mm] k^2=y^2+r^2. [/mm] Jede Seitenfläche der Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis x, der Schenkellänge k und dem Winkel [mm] \beta [/mm] an der Spitze. Für [mm] \beta [/mm] gilt: [mm] cos\beta=1-\frac{x^2}{2y^2} [/mm] (Kosinussatz)Zeichnest du den Mantel der Pyramide in der Ebene, s erhälst du ein Vieleck mit zwei Seiten der Länge k, dem Winkel [mm] n\beta [/mm] zwischen diesen beiden Seiten und n Seiten der Länge x. Da die gesuchte Strecke N mal um die Pyramide gewunden sein soll, denkst du dir N dieser Mantelflächen nebeneinander. Die dadurch entstehende Fläche hat ebenfalls zwei Seiten der Länge k und den Winkel [mm] \gamma=N\beta [/mm] dazwischen, sowie Nn Seiten der Länge x. Die beiden Endpunkte der gesuchten Strecke sind die "linke untere" Ecke dieser Fläche und der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite der Länge k. Für den Abstand dieser beiden Punkte erhälst du mit dem Kosinussatz: [mm] s^2=(1,25-cos\gamma)k^2 [/mm] wobei [mm] \gamma<\pi [/mm] sein muß.
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