Geom. Deutung für Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seien folgende, reelle
[mm] A_1=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
[mm] A_2=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
[mm] A_3=\pmat{ 1 & -2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
[mm] A_4=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0& -\bruch{1}{2} \\ 0 & 1& 0\\ \bruch{1}{2} & 0& \bruch{\wurzel{3}}{2} }
[/mm]
Beschreiben Sie jeweils, welche geometrische Operation durch [mm] x\toA_i*x [/mm] bewirkt wird und illustireren Sie dies durch geeignete Skizzen |
Die Determinante von [mm] A_1 [/mm] ist +1. Das würde für eine Drehmatrix sprechen. Da aber nicht jede Matrix mit der Determinante +1 eine Drehmatrix ist, muss noch die foglende Gleichung überprüft werden:
[mm] A_1=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} }=\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
Es muss also ein [mm] \alpha [/mm] existieren, sodass foglende Gleichungen gelten:
[mm] cos\alpha=-\bruch{1}{\wurzel{2}} \Rightarrow \alpha_1=135^\circ [/mm] oder [mm] \alpha_2=225^\circ
[/mm]
[mm] -sin\alpha=\bruch{1}{\wurzel{2}} \Rightarrow \alpha_1=-45^\circ [/mm] oder [mm] \alpha_2=225^\circ
[/mm]
Für [mm] \alpha=225^\circ [/mm] Ist [mm] A_1 [/mm] eine Drehmatrix.
Für die weiteren Matrizen will ich es nicht so ausführlich machen. Ich sage einfach die Lösung:
[mm] A_2 [/mm] ist eine Spiegelungsmatrix
[mm] A_4 [/mm] ist eine Drehmatrix um die y-Achse
Stimmt die Lösung soweit?
Was ist mit [mm] A_3? A_3 [/mm] ist keine orthogonale Matrix. Somit kann sie weder eine Drehmatrix noch eine Spiegelungsmatrix sein.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Mo 20.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben seien folgende, reelle
>
> [mm]A_1=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
> [mm]A_2=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> [mm]A_3=\pmat{ 1 & -2 \\ 2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]A_4=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0& -\bruch{1}{2} \\ 0 & 1& 0\\ \bruch{1}{2} & 0& \bruch{\wurzel{3}}{2} }[/mm]
>
> Beschreiben Sie jeweils, welche geometrische Operation
> durch [mm]x\toA_i*x[/mm] bewirkt wird und illustireren Sie dies
> durch geeignete Skizzen
>
> Die Determinante von [mm]A_1[/mm] ist +1. Das würde für eine
> Drehmatrix sprechen. Da aber nicht jede Matrix mit der
> Determinante +1 eine Drehmatrix ist, muss noch die foglende
> Gleichung überprüft werden:
>
> [mm]A_1=\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} }=\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
>
> Es muss also ein [mm]\alpha[/mm] existieren, sodass foglende
> Gleichungen gelten:
>
> [mm]cos\alpha=-\bruch{1}{\wurzel{2}} \Rightarrow \alpha_1=135^\circ[/mm]
> oder [mm]\alpha_2=225^\circ[/mm]
>
> [mm]-sin\alpha=\bruch{1}{\wurzel{2}} \Rightarrow \alpha_1=-45^\circ[/mm]
> oder [mm]\alpha_2=225^\circ[/mm]
>
> Für [mm]\alpha=225^\circ[/mm] Ist [mm]A_1[/mm] eine Drehmatrix.
Das stimmt, ich würde es aber anders formulieren, mämlich:
[mm] A_{1} [/mm] ist eine Drehmatrix mit dem Winkel [mm] \alpha=225^{\circ}
[/mm]
>
> Für die weiteren Matrizen will ich es nicht so
> ausführlich machen. Ich sage einfach die Lösung:
>
> [mm]A_2[/mm] ist eine Spiegelungsmatrix
An welcher Geraden denn? Das solltest du dazuschreiben.
>
> [mm]A_4[/mm] ist eine Drehmatrix um die y-Achse
Ja, und um welchen Winkel hast du sicher auch schon ermittelt.
>
> Stimmt die Lösung soweit?
>
> Was ist mit [mm]A_3? A_3[/mm] ist keine orthogonale Matrix.
> Somit kann sie weder eine Drehmatrix noch eine
> Spiegelungsmatrix sein.
Das stimmt.
|
|
|
| |
|
zu der Matrix [mm] A_3 [/mm] habe ich foglende Idee.
Ich normiere die Länge der Spalten- und zeilenvektoren auf 1, indem die die Zahlen der Vektoren mit dem Faktor [mm] \wurzel{5} [/mm] dividiere. Damit ich die Matrix [mm] A_3 [/mm] nicht verändere, multipliziere ich die Matrix nochmal mit dem faktor [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] A_3=\wurzel{5}\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} & -\bruch{2}{\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{5}} }
[/mm]
Jetzt ist die Determinante von [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} & -\bruch{2}{\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} & \bruch{1}{\wurzel{5}} } [/mm] gleich +1 und ist eine Drehmatrix für den Winkel [mm] \alpha\approx63,43°
[/mm]
der Faktor [mm] \wurzel{5} [/mm] vor der Matrix streckt dann den gedrehten Vektor, der mit [mm] A_3 [/mm] mutlipliziert wird. Das heißt [mm] A_3 [/mm] bewirkt eine Drehung und Streckung.
Bitte die folgenden 3 Fragen alle einzelnd beantworten
ist die Lösung richtig?
Kann man so aus jeder Matrix eine Drehmatrix machen?
Nichtsdestotrotz ist [mm] A_3 [/mm] keine orthogonale Matrix. Wie kann sie dann trotzdem eine Drehmatrix sein?
(Wenn die Antwort auf die erste Frage Nein lautet, dann haben sich die zwei nachfolgenden Fragen erledigt)
|
|
|
| |
|
Hallo!
> ist die Lösung richtig?
Ja, wenngleich ich den Winkel nicht nachgerechnet habe.
> Kann man so aus jeder Matrix eine Drehmatrix machen?
Nein.
[mm] \det(A)=+1 [/mm] ist keine hinreichende Bedingung, d.h. alleine das definiert noch keine Drehmatrix.
Gegenbeispiel: [mm] A=\vektor{1&0\\1&1} [/mm] . Obwohl [mm] \det(A)=+1 [/mm] ist, ist das keine Drehmatrix: Die erste Komponente eines Vektors bleibt nach Anwedung der Matrix stets gleich, nur die zweite ändert sich.
> Nichtsdestotrotz ist [mm]A_3[/mm] keine orthogonale Matrix. Wie kann
> sie dann trotzdem eine Drehmatrix sein?
Sie ist ja auch keine Drehmatrix. Wie du selbst schreibst, wird der Vektor zuerst gedreht, und dann gestreckt (oder umgekehrt, das macht ja keinen Unterschied), das heißt, [mm] $A_3$ [/mm] ist eine Kombination von Drehung und Streckung.
Durch deine Rechnung hast du genau das herausgefunden.
Noch ein Beispiel: In [mm] A=\vektor{0&-2\\1&0} [/mm] verbirgt sich auch eine Drehung, dennoch ist das keine Drehmatrix. Nach der Drehung wird der Vektor noch um den Faktor 2 in [mm] $x_2$ [/mm] -Richtung gestreckt. Dabei lässt sich das nicht mehr so einfach herausfinden, wenngleich man es der Matrix ansieht. Du siehst, wenn eine Matrix komplizierter wird, lässt sich schwieriger herausfinden, ob ihn ihr auch eine Drematrix steckt.
|
|
|
| |
|
[mm] A_3 [/mm] ist eine Kombination aus Drehmatrix und Streckmatrix: Erst um den von dir errechneten Winkel drehen und dann mit Faktor [mm] \wurzel{5} [/mm] vom Ursprung aus strecken.
|
|
|
| |
|
Ich habe für die Spiegelungsmatrix [mm] A_2 [/mm] eine Skizze gemacht.
[mm] A_2=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }=\pmat{ cos(45^\circ) & sin(45^\circ)\\ sin(45^\circ)& -cos(45^\circ) }
[/mm]
Ich habe den Vektor v=(0;2) (roter vektor) gespiegelt. Was bringt mir der Winkel [mm] 45^\circ [/mm] für eine Information? der Winkel zwischen vektor und gespiegelter vektor beträgt mehr als [mm] 45^\circ
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Fr 24.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ch erinnere dass man an dem halben Winkel spiegelt, so weit waren wir schon mal, zeichne mal 22,5° ein!
Gruss ledum
|
|
|
| |
|
Kann es sein das [mm] A_4 [/mm] doch keine Drehmatrix ist? ich finde keinen passenden Winkel. Es muss gelten:
[mm] A_4=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0& -\bruch{1}{2} \\ 0 & 1& 0\\ \bruch{1}{2} & 0& \bruch{\wurzel{3}}{2} }=\pmat{ cos\alpha & 0& sin\alpha \\ 0 & 1& 0\\ -sin\alpha & 0& cos\alpha }
[/mm]
Damit die obige Gleichung gilt, muss ein [mm] \alpha [/mm] exsitieren, sodass foglend eGleichungen gelten:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{\wurzel{3}}{2} \Rightarrow \alpha_1=30^\circ [/mm] oder [mm] \alpha_2=330^\circ
[/mm]
[mm] sin(\alpha)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow \alpha_1=-30^\circ [/mm] oder [mm] \alpha_2=210^\circ
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Fr 24.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
cos(30°)=cos(-30°)
Gruß ledum
|
|
|
|
