Geom. Reihe;Formale Pot.reihe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | | Es sei $R$ ein Ring mit Eins. Dann gilt [mm] $(1-X)\sum_kX^k=(\sum_kX^k)(1-X)=1$ [/mm] in dem Ring der formalen Potenzreihen [mm] $R[X]\.$. [/mm] (Der Befehll llbracket für die richtigen Klammern funktioniert leider nicht.) |
Guten Tag
[mm] $R[X]:=(R^\IN,+,\cdot)$ [/mm] ist definiert durch [mm] (\IN [/mm] MIT 0)
[mm] $\bigl((p+q)_k\bigr)_k:=(p_k+q_k)_k$
[/mm]
[mm] \bigl((pq)_k\bigr)_k:=\left(\sum_{j=0}^kp_jq_{k-j}\right)_k
[/mm]
für [mm] $(p_k)_k,(q_k)_k\in R^\IN$.
[/mm]
Außerdem gilt nach Definition:
[mm] $1:=(1,0,0,0,0,0,...)=:(p_k)_k$
[/mm]
[mm] $X:=(0,1,0,0,0,0,...)=:(q_k)_k$
[/mm]
[mm] $\sum_kX^k:=(1,1,1,1,1,1,...)=:(r_k)_k$
[/mm]
Also
[mm] $(1-X)\sum_kX^k=\underbrace{\bigl((p-q)_k\bigr)_k}_{=(1,-1,0,0,0,0,...)}(r_k)_k=\left(\sum_{j=0}^k(p-q)_j\underbrace{r_{k-j}}_{=1}\right)_k=\Bigl((p-q)_0,(p-q)_0+(p-q)_1,(p-q)_0+(p-q)_1+(p-q)_2,...\Bigr)=(1,1-1,1-1+0,1-1+0+0,...)=(1,0,0,0,...)=1$.
[/mm]
Das ist jetzt aber ziemlich unelegant, weil ich nur die ganz elementaren Definitionen verwende.
Ich würde gerne das ganze schon ein bisschen mit Summenzeichen
und so in der üblichen Schreibweise formulieren, aber daran scheitere ich immer.
(Denn es ist ja üblich statt [mm] $(p_k)_k$ [/mm] einfach [mm] $\sum_kp_kX^k$ [/mm] zu schreiben)
Wäre nett, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Beste Grüße,
Labrinth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 So 05.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Labrinth!
> Es sei [mm]R[/mm] ein Ring mit Eins. Dann gilt
> [mm](1-X)\sum_kX^k=(\sum_kX^k)(1-X)=1[/mm] in dem Ring der formalen
> Potenzreihen [mm]R[X]\.[/mm]. (Der Befehll llbracket für die
> richtigen Klammern funktioniert leider nicht.)
>
> Guten Tag
>
> [mm]R[X]:=(R^\IN,+,\cdot)[/mm] ist definiert durch [mm](\IN[/mm] MIT 0)
>
> [mm]\bigl((p+q)_k\bigr)_k:=(p_k+q_k)_k[/mm]
>
> [mm]\bigl((pq)_k\bigr)_k:=\left(\sum_{j=0}^kp_jq_{k-j}\right)_k[/mm]
>
> für [mm](p_k)_k,(q_k)_k\in R^\IN[/mm].
>
> Außerdem gilt nach Definition:
>
> [mm]1:=(1,0,0,0,0,0,...)=:(p_k)_k[/mm]
> [mm]X:=(0,1,0,0,0,0,...)=:(q_k)_k[/mm]
> [mm]\sum_kX^k:=(1,1,1,1,1,1,...)=:(r_k)_k[/mm]
>
> Also
>
> [mm](1-X)\sum_kX^k=\underbrace{\bigl((p-q)_k\bigr)_k}_{=(1,-1,0,0,0,0,...)}(r_k)_k=\left(\sum_{j=0}^k(p-q)_j\underbrace{r_{k-j}}_{=1}\right)_k=\Bigl((p-q)_0,(p-q)_0+(p-q)_1,(p-q)_0+(p-q)_1+(p-q)_2,...\Bigr)=(1,1-1,1-1+0,1-1+0+0,...)=(1,0,0,0,...)=1[/mm].
>
> Das ist jetzt aber ziemlich unelegant, weil ich nur die
> ganz elementaren Definitionen verwende.
> Ich würde gerne das ganze schon ein bisschen mit
> Summenzeichen
> und so in der üblichen Schreibweise formulieren, aber
> daran scheitere ich immer.
> (Denn es ist ja üblich statt [mm](p_k)_k[/mm] einfach [mm]\sum_kp_kX^k[/mm]
> zu schreiben)
> Wäre nett, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Verwende doch, dass [mm] $\sum_k X^k [/mm] = 1 + X [mm] \sum_k X^k$ [/mm] ist - das kann man mit den Folgen recht schnell einsehen. Wenn du dann noch das Distributivitaetsgesetz verwendest, erhaelst du: $(1 - X) [mm] \sum_k X^k [/mm] = [mm] \sum_k X^k [/mm] - X [mm] \sum_k X^k [/mm] = 1 + X [mm] \sum_k X^k [/mm] - X [mm] \sum_k X^k [/mm] = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Labrinth |
Danke, so mache ich es 
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