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Geometrie: Schnittp. Quer- und Längslinie
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:52 Mo 15.10.2018
Autor: knorki7

Aufgabe
Ein Rechteck ABCD mit |AB| = p und |AD| = q wird durch p - 1 Parallelen zu AD (Längslinien) in p Rechtecke (unten Rippen genannt) der Breite 1 unterteilt. Diese werden wiederum durch q - 1 Parallelen zu AB (Querlinien) in je q Quadrate der Seitenlänge 1 geteilt.
Nun wird das Rechteck längs der Diagonalen d = AC zerschnitten.

a) Wenn p = 132 und q = 15, liegt dann mindestens einer der Schnittpunkte von d mit den Querlinien auf einer Längslinie?
b) Es sei p = 41 und q = 37. Wie viele Rippen, in deren Innerem kein Schnittpunkt der Strecke d mit der Querlinie liegt, existieren?
c) Schließlich sei q > 1 und p = [mm] q^2-1. [/mm] Ermitteln Sie in Abhängigkeit von q die Anzahl der Rippen, in deren Innerem ein Schnittpunkt einer Querlinie mit der Strecke d liegt.

Hallo,

a) ich habe bisher einen eher pragmatischen Ansatz gewählt. Mathematisch konnte ich mir nichts vielversprechendes herleiten, also habe ich einfach erstmal Rechtecke gezeichnet, die kleiner sind (6*4, 5*4, ..., usw) und versucht eine "Regel" zu finden die sich dann auch auf beliebige andere Rechtecke übertragen lassen.

Herausgefunden habe ich folgendes:

6*4 = Diagonale schneidet einen Gitterpunkt (Gitterpunkt sei hier ein Schnittpunkt von Quer- und Längslinie)
5*4 = kein Schnittpunkt
6*3 = Zwei Schnittpunkte
8*6 = Ein Schnittpunkt
9*6 = Zwei Schnittpunkte

Ich folgerte daraus: Länge - Breite - 1 = Anzahl der Schnittpunkte
Also: 9-6-1 = 2 oder 8-6-1 = 1

Das würde bedeuten, bei 132*15 = 132-15-1 = 116 Schnittpunkte.

FALLS das überhaupt richtig ist, wie kann ich das rein mathematisch nachweisen?

b) 41 - 37 - 1 = 3 Schnittpunkte.
Es existieren 41 Rippen

Jetzt ist es aber so, dass ich nicht nur die Rippen rausnehmen soll die diese 3 Schnittpunkte haben, sondern alle Rippen, die bereits einen Schnittpunkt der Diagonale nur mit einer Querlinie aufweisen. Hier bin ich dann bereits überfragt mit einem obigen Ansatz.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Mo 15.10.2018
Autor: abakus

Warte bitte ab, bis an deiner Schule die Lösungen zur ersten Stufe der Mathematikolympiade veröffentlicht werden.

Wir wollen nicht zu Wettbewerbsbetrug beitragen.

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Geometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Mo 15.10.2018
Autor: knorki7

Ich habe nicht daran teilgenommen, auch ist bei uns in NRW der Abgabezeitraum vorbei, weil bereits Ferien sind.

Ich wollte nur aus reinem Interesse wissen, ob ich da auf dem richtigen Weg bin.

Also keine Sorge, ich betrüge nicht indem ich mir bei den Lösungen helfen lassen und diese auch noch einreiche!!!

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Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Di 16.10.2018
Autor: knorki7

Siehe Mitteilung

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Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Di 16.10.2018
Autor: leduart

Hallo
du kennst die Steigung der Diagonalen, du kennst die Steigung zu den einzelnen Schnittpunkten, wenn du die geeignet bezeichnest, also im ersten Riegel (1,1) (1,2),,(1,q-1) usw. kommst du damit weiter?
Gruß ledum

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Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Di 16.10.2018
Autor: knorki7

Ja also wenn p = 132 und q = 15 ist, dann kann ich die Diagnale als Funktion darstellen wenn Punkt A der Ursprung ist.

Die wäre dann f(x) = -(15/132) + 15

Dementsprechend wäre die Steigung der Diagonalen -(15/132)

Der erste Schnittpunkt von Längs- und Querlinie liegt im Punkt (1/14), weil die Quadrate ja 1x1 groß sind.

Die Steigung von Punkt D zu dem Schnittpunkt der Längs- und Querlinie ist logischerweise -1.

Diesen Ansatz, dass ganze über Funktionen zu lösen, hatte ich mir schonmal überlegt, aber damit komme ich nicht wirklich weiter. Ich weiß jetzt quasi, dass die Diagonale den ersten Schnittpunkt von Quer- und Längslinie nicht trifft.

Aber ich müsste dann jeden weiteren Punkt ausprobieren und das muss ja allgemein irgendwie gehen. Und da hakt es dann

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Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Di 16.10.2018
Autor: HJKweseleit


> Ein Rechteck ABCD mit |AB| = p und |AD| = q wird durch p -
> 1 Parallelen zu AD (Längslinien) in p Rechtecke (unten
> Rippen genannt) der Breite 1 unterteilt. Diese werden
> wiederum durch q - 1 Parallelen zu AB (Querlinien) in je q
> Quadrate der Seitenlänge 1 geteilt.
> Nun wird das Rechteck längs der Diagonalen d = AC
> zerschnitten.
>  
> a) Wenn p = 132 und q = 15, liegt dann mindestens einer der
> Schnittpunkte von d mit den Querlinien auf einer
> Längslinie?

Ich bezeichne die Kreuzungen der Längs- mit den Querlinien als Gitterpunkte. Im Koordinatensystem hat der Gitterpunkt A dann die Koordinaten (0|0), B(p|0), C(p|q) und D(0|q).

Wenn du die Diagonale d entlang von A (links unten) nach C (rechts oben) gehst, bist du letztlich 132 Kästchen nach rechts und 15 nach oben gewandert. Da dies gleichmäßig geschieht, wanderst du bei jedem Kästchenschritt nach rechts also [mm] \bruch{15}{132} [/mm] Kästchen höher.


Diesen Bruch kannst du aber mit 3 kürzen: [mm] \bruch{15}{132}=\bruch{5}{44}. [/mm] Das aber bedeutet: Wenn du 44 Kästchen nach rechts gehst, kommst du genau 5 Kästchen höher, und bei (44|5) geht die Diagonale zum ersten Mal durch einen Gitterpunkt. Machst du das nochmals, landest du bei (88|10), und als letztes bei (132|15). Außer durch A und C geht d also noch durch 2 weitere Gitterpunkte.

Bei b) kannst du den Bruch [mm] \bruch{37}{41} [/mm] nicht kürzen, und deshalb gibt es dort nur die Gitterpunkte A und C auf d.




>  b) Es sei p = 41 und q = 37. Wie viele Rippen, in deren
> Innerem kein Schnittpunkt der Strecke d mit der Querlinie
> liegt, existieren?

Da, wie oben schon gesagt, keine Gitterpunkte außer A und C von d getroffen werden (und diese liegen nicht im Inneren, sondern auf dem Rand der jeweiligen Rippe), werden alle Querlinie innerhalb einer Rippe geschnitten. Wenn du 41 Schritte zur Seite gehst, kommst du 37 Kästchen höher. Das bedeutet, dass du pro Seitenschritt [mm] \bruch{37}{41} [/mm] Kästchen höher kommst, das ist weniger als ein Kästchen. Das bedeutet, dass d beim Durchqueren einer Rippe höchstens eine Querlinie durchschneiden dann, denn um noch eine zu durchschneiden, müsste es nun ein Kästchen höher kommen, aber bei einem Schritt zur Seite schafft es nur [mm] \bruch{37}{41} [/mm] höher.

Nun muss aber d von A zu C 36 Querlinien durchschneiden, und das findet nun alles innerhalb der Rippen statt (keine Gitterpunkte werden getroffen) und auch in verschiedenen Rippen, also in 36 Rippen. Dann findet in 41-36=5 Rippen kein solches Ereignis statt.



>  c) Schließlich sei q > 1 und p = [mm]q^2-1.[/mm] Ermitteln Sie in

> Abhängigkeit von q die Anzahl der Rippen, in deren Innerem
> ein Schnittpunkt einer Querlinie mit der Strecke d liegt.


Es sollte klar sein, dass p>q ist. Damit haben wir wieder die Situation, dass in einer Rippe der Anstieg nicht reicht, um mehr als eine Querlinie zu durchschneiden. Somit werden q-1 Querlinien von d durchschnitten, wobei q-1 verschiedene Rippen betroffen sind.

Aber: Wenn ein Schnittpunkt ein Gitterpunkt ist, fällt er aus der Zählung heraus, weil er auf einem Rippenrand liegt (wie A und C). Also versuchen wir wieder, den Bruch zu kürzen:

[mm] \bruch{q}{p}=\bruch{q}{q^2-1}= [/mm] ???

Wenn man kürzen könnte, könnte man aber auch den Kehrwert kürzen. Versuchen wir das mal:

[mm] \bruch{p}{q}=\bruch{q^2-1}{q}=q-\bruch{1}{q} [/mm]

Da aber q [mm] \ne [/mm] 1 ist, kann man den letzten Bruch und damit auch den ganzen Bruch nicht kürzen, also auch nicht [mm] \bruch{q}{p}, [/mm] und deshalb gibt es keine Gitterpunkte als Schnittpunkte zwischen A und C. Somit gibt es q-1 Rippen mit Schnittpunkten und p-(q-1) = [mm] q^2-1-(q-1) [/mm] = [mm] q^2 [/mm] - q Rippen ohne innere Schnittpunkte.

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