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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mi 19.07.2006 | | Autor: | janaica |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Die Diagonalen eines Sehnenvierecks zerlegen es in vier Dreiecke, von denen jeweils zwei in den Winkeln übereinstimmen. |
Hallo!
Reicht es, wenn ich hier den Innenwinkelsatz angebe & dass Scheitelwinkel immer gleich groß sind?
Bin mir total unsicher, weil´s so einfach erscheint.
Oder habe ich etwas wichtiges übersehen?
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße & vielen Dank vorab!!
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Hallo janaica,
> Beweisen Sie:
> Die Diagonalen eines Sehnenvierecks zerlegen es in vier
> Dreiecke, von denen jeweils zwei in den Winkeln
> übereinstimmen.
> Hallo!
>
> Reicht es, wenn ich hier den Innenwinkelsatz angebe & dass
> Scheitelwinkel immer gleich groß sind?
>
> Bin mir total unsicher, weil´s so einfach erscheint.
> Oder habe ich etwas wichtiges übersehen?
Das reicht m.E. nicht, denn du musst ja zeigen, dass die gegenüberliegenden Dreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen. Und dazu reicht der Innenwinkelsatz nicht, weil er ja nur vor der Summe der Winkel ausgeht und die Dreiecke sicher i.a. nicht gleichschenklig sind, oder?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hast du mal eine Zeichnung angefertigt?
Du solltest die Winkel mal bezeichnen und dann kommst du um einen Beweis für mind. zwei Winkel wohl nicht herum.
Probier's mal! Und zeig uns deine Resultate.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 19.07.2006 | | Autor: | janaica |
Hy nochmal!
Ja, eine Zeichnung habe ich, allerdings *nur* auf Papier.
Hat das alles vielleicht noch was mit den Umfangswinkeln zu tun?
Meine Winkel bei A und B heißen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta.
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] wäre dann ja Umfangswinkel über s2 und [mm] \beta [/mm] über s1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mi 19.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Janaica!
> Ja, eine Zeichnung habe ich, allerdings *nur* auf Papier.
>
> Hat das alles vielleicht noch was mit den Umfangswinkeln zu
> tun?
Wenn du damit die Winkel über einer Sehne auf einem Kreis meinst, dann ja! Hier gibt es 4 Sehnen, und über jeder Sehne 2 Winkel, die dann gleich sind.
> Meine Winkel bei A und B heißen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta.[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] wäre dann ja Umfangswinkel über s2 und [mm]\beta[/mm] über
> s1.
Ich denke, du bist auf dem richtigen Weg.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 19.07.2006 | | Autor: | janaica |
Hy nochmal!
Ja, ich habe [mm] \overline{BC} [/mm] = s2 und [mm] \overline{AD} [/mm] = s1.
Aber Umfangswinkel über dem selben Bogen sind doch eigentlich gleich groß, d. h. es müsste gelten [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta, [/mm] aber dies ist in meiner Zeichnung nicht so. Das gilt doch sowieso nur, wenn dass Sehnenviereck gleichschenklig ist, oder?!
Ich gerade total auf´m Schlauch..
Gruß!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 19.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo nochmal!
Ich nenne das Viereck jetzt mal ABCD. Dann gibt es 2 Winkel über AB, nämlich [mm] \sphericalangle [/mm] BCA und [mm] \sphericalangle [/mm] BDA, die als Umfangswinkel gleich sind. Ebenso sind über CD die Winkel [mm] \sphericalangle [/mm] CBD und [mm] \sphericalangle [/mm] CAD gleich. Und im Schnittpunkt der Diagonalen gibt es Scheitelwinkel, die auch gleich sind.
Kriste jetzt deinen Beweis zusammen, schön mit Bild und Text?
LG
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 19.07.2006 | | Autor: | janaica |
Soweit bin ich auch mit meiner Zeichnung.
Scheitelwinkel sind immer gleich groß und die gegenüberliegenden Winkel in einem Sehnenviereck ergeben immer 180°.
Aber ich bekomme das alles nicht zusammen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 19.07.2006 | | Autor: | statler |
Hi!
> Soweit bin ich auch mit meiner Zeichnung.
>
> Scheitelwinkel sind immer gleich groß
Das ist hier wichtig!
> und die
> gegenüberliegenden Winkel in einem Sehnenviereck ergeben
> immer 180°.
Das brauchen wir hier nicht unbedingt!
> Aber ich bekomme das alles nicht zusammen...
Das wundert mich. Du weißt aus dem letzten Beitrag, daß
[mm] \sphericalangle [/mm] BCA = [mm] \sphericalangle [/mm] BDA (Umfangswinkel)
und daß
[mm] \sphericalangle [/mm] CBD = [mm] \sphericalangle [/mm] CAD (Umfangswinkel)
Wenn du den Diagonalenschnittpunkt M nennst, dann ist auch noch
[mm] \sphericalangle [/mm] CMB = [mm] \sphericalangle [/mm] DMA (Scheitelwinkel)
Trag das doch bitte mal mit bunten Bögen in deine Zeichnung ein, dann müßtest du 2 Dreiecke mit gleichen Winkeln erkennen?
LG
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 19.07.2006 | | Autor: | janaica |
Ja, da hast Du Recht.
Mit zwei Dreiecken kann ich das ja einigermaßen nachvollziehen, aber es geht ja um vier Dreiecke.
Durch die Diagonalen sind die Winkel ja nochmal geteilt..
Deswegen kann ich ja dass mit den 180° doch gar nicht nutzen.. Die Winkel werde ja auch nicht direkt in der Mitte geteilt..
:-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 19.07.2006 | | Autor: | statler |
Also Mädel,
nun lies doch mal den Text der Aufgabe gaaaanz genau. Je 2 Dreiecke sollen in den Winkeln übereinstimmen! Also z. B. das rechte und das linke und dann noch das obere und das untere. Welche beiden stimmen denn jetzt bei dir überein?
Das andere Paar kannst du dir genauso überlegen!
In einer halben Stunde gehe ich offline, dann muß alles klar sein 
Weitere liebe Grüße
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 19.07.2006 | | Autor: | janaica |
Das obere und untere und
das rechte und das linke.
Das sehe ich schon, aber warum das nun so ist, weiß ich immer noch nicht.
Ich resigniere.
Gruß!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mi 19.07.2006 | | Autor: | statler |
Liebe Janaica,
mal doch bitte in [mm] \sphericalangle [/mm] DBC und in [mm] \sphericalangle [/mm] DAC einen kleinen roten Bogen (die sind gleich, weil beide Umfangswinkel über CD sind) und dann malst du bittebitte in [mm] \sphericalangle [/mm] ACB und [mm] \sphericalangle [/mm] ADB einen kleinen blauen Bogen, die sind nämlich auch gleich, weil beide Umfangswinkel über AB sind. Weil die Winkelsumme in Dreiecken 180° ist, sind jetzt auch die Winkel [mm] \sphericalangle [/mm] AMD und [mm] \sphericalangle [/mm] BMC gleich. Außerdem sind sie Scheitelwinkel. Kennzeichne sie bittebittebitte mit einem kleinen grünen Bogen. (Du kannst auch andere Farben nehmen, nach Geschmack.)
Ein Paar von Dreiecken hast du jetzt im Griff. Ich mute dir zu, dir selbst zu überlegen, wie du jetzt dem 2. Paar beikommst.
Du hast 10 Min. für eine Antwort.
Ganz liebe Grüße
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 19.07.2006 | | Autor: | janaica |
Lieber Dieter,
Meine Winkel sind doch schon lange bunt, so, wie Du gesagt hast.
Aber ich kann das einfach nicht nachvollziehen.
Vielen Dank für Deine Mühe und geopferte Zeit.
Liebe Grüße zurück!
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Hallo janaica,
du musst doch nur noch alles der Reihe nach hinschreiben,was Dieter dir gesagt hast, dann bist du für ein Paar von Dreiecken fertig:
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mal doch bitte in $ [mm] \sphericalangle [/mm] $ DBC und in $ [mm] \sphericalangle [/mm] $ DAC einen kleinen roten Bogen (die sind gleich, weil beide Umfangswinkel über CD sind) und dann malst du bittebitte in $ [mm] \sphericalangle [/mm] $ ACB und $ [mm] \sphericalangle [/mm] $ ADB einen kleinen blauen Bogen, die sind nämlich auch gleich, weil beide Umfangswinkel über AB sind. Weil die Winkelsumme in Dreiecken 180° ist, sind jetzt auch die Winkel $ [mm] \sphericalangle [/mm] $ AMD und $ [mm] \sphericalangle [/mm] $ BMC gleich. Außerdem sind sie Scheitelwinkel. Kennzeichne sie bittebittebitte mit einem kleinen grünen Bogen. (Du kannst auch andere Farben nehmen, nach Geschmack.)
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[Dateianhang nicht öffentlich]
zu zeigen:
[mm] $\Delta$ [/mm] ABS ähnlich zu [mm] $\Delta$ [/mm] CDS
Beweis:
$ [mm] \sphericalangle [/mm] (ASB) = [mm] \sphericalangle [/mm] (CSD) $ weil Scheitelwinkel bei S
$ [mm] \sphericalangle [/mm] (BAC) = [mm] \sphericalangle [/mm] (BDC)$ weil Umfangswinkel über BC
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \sphericalangle [/mm] (DBA) = [mm] \sphericalangle [/mm] (DCA)$ wegen Winkelsumme im Dreieck, aber auch weil Umfangswinkel über AD.
Damit ist gezeigt, dass die beiden Dreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen, also ähnlich sind.
Die Winkelmessungen in der Zeichnung dienen lediglich der Demonstration, sind aber kein Beweis!
Analog geht der Beweis für die Dreiecke [mm] $\Delta$ [/mm] ASD und [mm] $\Delta$ [/mm] CSB.
Alles klar?
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Do 20.07.2006 | | Autor: | janaica |
Ich danke Euch!
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