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Forum "Deutsche Mathe-Olympiade" - Geometrie mit Kreisen (411032)
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Geometrie mit Kreisen (411032): Aufgabe und Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Fr 04.07.2008
Autor: tuxor

Aufgabe
Es sei AB ein Viertelkreisbogen eines Kreises [mm]k_1[/mm] mit gegebenem Radius r und Mittelpunkt M. Ein zweiter Kreis [mm]k_2[/mm] mit dem MIttelpunkt A und dem Radius r teilt die Viertelkreisfläche in zwei Teilflächen. In die kleinere Teilfläche soll ein dritter Kreis einbeschrieben werden, d.h. er soll die Strecke MB berühren, den Kreis [mm]k_1[/mm] von innen berühren und den Kreis [mm]k_2[/mm] von außen berühren.

a) Wie groß ist der Radius des Kreises k?
b) Konstruieren Sie den Kreis k nur unter Verwendung von Zirkel und Lineal! Beschreiben Sie Ihre Konstruktion

Meine Lösung ist [mm] \bruch{4*\wurzel{2}-5}{8} * r_1 [/mm]

Vielleicht hat ja jemand eine Lösung der Aufgabe parat (es gibt doch diese Lösungsheftchen zu kaufen). Oder jemand macht sich mal schnell selbst über die Aufgabe her. Ich wollte nur wissen, ob mein Ergebnis richtig ist. Bei Interesse kann ich natürlich auch noch meinen Lösungsweg reinstellen (das war mir jetzt für den Moment irgendwie zu kompliziert - ganz grob lässt sich aber sagen, dass ich sehr viel mit Pythagoras gemacht habe).

Vielen Dank,
tuxor

Nachtrag: Ich hätte doch noch eine Frage zu b): kann man vor der Konstruktion die Längen beliebiger Strecken und die Größen beliebiger Winkel in der Figur rechnerisch ermitteln, und dann damit konstruieren oder darf man sich nur den Radius des Viertelkreises als gegeben aufzeichnen und muss den kompletten Rest "dazukonstruieren"?

        
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Geometrie mit Kreisen (411032): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Fr 04.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Ne kurze Zeichnung mit Geogebra zeigt, der Radius ist etwa um den Faktor 2 zu klein.
Wenn du b) gelöst hast kannst du ja selbst nachmessen.
Gruss leduart

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Geometrie mit Kreisen (411032): Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Fr 04.07.2008
Autor: tuxor

Ach entschuldigt, ich habe hier völligen Mist verzapft. Die richtige Lösung ist [mm]r_2 = \bruch{r_1}{6}[/mm] und diesmal ist der Lösungsweg so kurz und überschaubar, dass ich mir extrem sicher bin, dass die Lösung stimmt. Also trotzdem danke für eure Mühe und vor allem für Deine Antwort, leduart!

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Geometrie mit Kreisen (411032): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 05.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Ja r/6 ist richtig.
Gruss leduart

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Geometrie mit Kreisen (411032): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Sa 05.07.2008
Autor: Teufel

Hi!

Wie sieht denn dein kurzer Lösungsweg aus, wenn ich fragen darf? Habe mich mal selber rangesetzt und nur einen etwas langwierigeren gefunden (ich löse sowas immer gerne im Koordinatensystem :P).
Ansonsten hätte ich keine brauchbaren Ansätze, wäre aber an einer anderen Lösung mal interessiert.

Edit: Na gut, das Koordinatensystem war eigentlich überflüssig. Ich habe im Endeffekt nur das Gleichungssytem hier gelöst:

I) [mm] r-\wurzel{a²+b²}=\wurzel{(r-a)²+b²}-r [/mm]
II) [mm] a=r-\wurzel{a²+b²} [/mm]

Wobei a der horizontale Abstand vom Mittelpunkt des gesuchten Kreises (ich nenn ihn mal [mm] M_3) [/mm] und M ist und b der vertikale Abstand von [mm] M_3 [/mm] und M.

[anon] Teufel

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Geometrie mit Kreisen (411032): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Sa 05.07.2008
Autor: leduart

Hallo Teufel
Ich hab das Problem mit Inversion am Kreis schnell gelöst, dabei geht der kreis  in ne Gerade im Abstand r/2 über, der gesuchte Kreis in einen der 2 parallele Geraden berührt und den Kreis von aussen. dann hat man die r/6 mit Strahlensatz.
Viele Aufgaben mit 2 sich schneidenden Kreisen werden durch Inversion einfacher!
Gruss leduart

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Geometrie mit Kreisen (411032): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Sa 05.07.2008
Autor: tuxor

Es ist immer wieder schön, wie man zu einem Problem so viele Lösungen finden kann. Ich selbst habe den Radius der Viertelkreise [mm]r_1[/mm] genannt und den anderen [mm]r_2[/mm].
Dann schaue ich mir einfach das Dreieck mit M, A und dem Mittelpunkt des kleinen Kreises ([mm]M_2[/mm]) als Ecken genauer an. Dieses Dreieck hat die Seite MA mit der Länge r, die Seite [mm]AM_2[/mm] mit der Länge [mm]r_1 + r_2[/mm]und die Seite [mm]M_2M[/mm] mit der Länge [mm]r_1 - r_2[/mm]. Wir teilen das Dreieck in zwei Teildreiecke, indem wir einfach die Höhe von [mm]M_2[/mm] über der Seite [mm]MA[/mm] als Trennlinie nehmen. Die zwei entstehenden Dreiecke sind natürlich rechtwinklig und deswegen gibt es da zwei schöne Pythagorase, die sich per [mm]h^2[/mm] gleichsetzen lassen. Es verbleibt eine einfache Umformung und schon ist das Ergebnis da :)

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Geometrie mit Kreisen (411032): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Sa 05.07.2008
Autor: Teufel

Hi, danke dir auch!

Klar, habe es mir auch schon so beschriftet, aber nicht zu Ende gedacht. Danke dir!

[anon] Teufel

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Geometrie mit Kreisen (411032): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 Sa 05.07.2008
Autor: Teufel

Hi leduart, danke erstmal!

Das mit der Inversion am Kreis sagt mir nicht viel, habe eben ein bisschen was drüber gelesen, wüsste aber nicht, wie ich das jetzt anwenden könnte um das Problem zu lösen.

[anon] Teufel

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Geometrie mit Kreisen (411032): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Sa 05.07.2008
Autor: weduwe

im koordinatensystem geht´s ja eigentlich sehr schön
(1)  [mm] x^2+ y^2=(R [/mm] - [mm] r)^2 [/mm]
(2) [mm] (x-R)^2 [/mm] + [mm] y^2=(R [/mm] + [mm] r)^2 [/mm]
(3) x = r

(1) - (2) und (3) eingesetzt ergibt [mm]6rR = R^2[/mm]

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Geometrie mit Kreisen (411032): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Sa 05.07.2008
Autor: tuxor

Ich fände es schön, wenn du mir das nochmal genauer erklären würdest. Hast du außerdem zufällig irgendwo eine Webseite, auf der erklärt wird, was genau die Inversion am Kreis ist? Mit Wikipedia versteh ich es irgendwie nicht. Vor allem versteh ich nicht, an welchem von den drei Kreisbögen in der Figur du eigentlich invertierst?!
(Ich habe nämlich schon häufiger von Inversion am Kreis gehört und wusste nie was es ist und wie man das anwenden könnte...)

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Geometrie mit Kreisen (411032): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Sa 05.07.2008
Autor: leduart

Hallo
Wenn du komplex rechnen kannst ist es die Abbildung z nach [mm] 1/\overline{z}. [/mm] Wenn man am Einheitskreis um 0 invertiert.
Wenn nicht, wird jeder Punkt auf einer Linie durch 0,0 mit Abstan r von 0 auf dieselbe Linie, aber bei 1/r abgebildet. dadurch wird das Innere des Kreises nach aussen gespiegelt und umgekehrt. Punkte auf dem Kreis gehen in sich selbst, der 0pkt nach unendlich.
Kreise durch den Nullpkt werden auf Geraden abgebildet. Die Abbildung ist winkeltreu, d.h. Alle Schnittwinkel bleiben erhalten.
Ich hab an dem Kreis um M durch A und B gespiegelt. der 2. Kreis schneidet unter 120° deshalb wird er auf ne Parallele zu AM abgebildet.
(Kreise gehen bei der Abb in Kreise oder Geraden über, und umgekehrt.)
Gruss leduart

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Geometrie mit Kreisen (411032): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:53 Sa 05.07.2008
Autor: tuxor

Super herzlichen Dank, ich hab die Kreisinversion jetzt wirklich verstanden.
Aber wo ist da die Strahlensatzfigur, mit der man auf die r/6 schließen könnte?

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Geometrie mit Kreisen (411032): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 So 06.07.2008
Autor: leduart

Hallo
ein Bild zur Erklärung:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Der rote Kreis wird am anderen gespiegelt (invertiert), und dabei zur roten Geraden: achte auf die 60° Winkel zwischen Kreis und Kreis und Gerade und Kreis.
dabei wird der kleine Kreis auf den roten Kreis abgebildet, der dann den Radius R/4 hat. den Rest kannst du ablesen.
Gruss leduart


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                
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Geometrie mit Kreisen (411032): Erleuchtung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 So 06.07.2008
Autor: tuxor

Ach natürlich. Ich hatte wirklich genau die selbe Skizze (nur alles um 90° gedreht) und bin nicht drauf gekommen, dass der Radius des invertierten Kreises R/4 sein muss. Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf. Vielen Dank für die Mühe, ich habe es mit deiner Hilfe endlich durchschaut :-)

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