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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Geometrie, rechtw. Dreiecke
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Geometrie, rechtw. Dreiecke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Fr 12.10.2018
Autor: knorki7

Aufgabe
Ein rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten länger als 2 sind, vermindert seinen Flächeninhalt um 10, wenn man beide Katheten um jeweils 2 verkürzt.

a) Existiert ein Dreieck, dessen eine Kathete exakt 4 lang ist?
b) Bestimmen Sie alle Werte, die die Summe der Kathetenlängen unter diesen Bedingungen annehmen kann
c) Welche Dreiecke vergrößern zusätzlich ihren Flächeninhalt um 14, wenn man beide Katheten jeweils um 2 verlängert?

Hallo,

mein einziger Ansatz bisher ist, rechtwinklige Dreiecke zu bilden mit z. B. Katheten 7 und 4. Dann den Flächeninhalt zu berechnen (A=14).

Als nächstes den Flächeninhalt des Dreiecks 4 und 2 berechen (A=4) und schauen, ob sich der Flächeninhalt um 4 vermindert hat.

Eine Kathete ist immer 4, der Flächeninhalt hat sich um 10 reduziert. Ist das soweit richtig was ich gemacht habe?

Bei b) würde ich mich über einen Tipp freuen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Geometrie, rechtw. Dreiecke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Fr 12.10.2018
Autor: Fulla

Hallo knorky7 und
[willkommenmr]

> Ein rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten länger als 2
> sind, vermindert seinen Flächeninhalt um 10, wenn man
> beide Katheten um jeweils 2 verkürzt.

>

> a) Existiert ein Dreieck, dessen eine Kathete exakt 4 lang
> ist?
> b) Bestimmen Sie alle Werte, die die Summe der
> Kathetenlängen unter diesen Bedingungen annehmen kann
> c) Welche Dreiecke vergrößern zusätzlich ihren
> Flächeninhalt um 14, wenn man beide Katheten jeweils um 2
> verlängert?


> Hallo,

>

> mein einziger Ansatz bisher ist, rechtwinklige Dreiecke zu
> bilden mit z. B. Katheten 7 und 4. Dann den Flächeninhalt
> zu berechnen (A=14).

>

> Als nächstes den Flächeninhalt des Dreiecks 4 und 2
> berechen (A=4) und schauen, ob sich der Flächeninhalt um 4
> vermindert hat.

>

> Eine Kathete ist immer 4, der Flächeninhalt hat sich um 10
> reduziert. Ist das soweit richtig was ich gemacht habe?

Nein, was du gemacht hast, ist zwei rechtwinklige Dreiecke zu finden, deren eine Kathete die Länge 4 hat und deren Flächeninhalt sich um 10 unterscheidet.

Gesucht ist aber ein Dreieck, dessen eine Kathete die Länge 4 hat und dessen Flächeninhalt um 10 kleiner wird, wenn man beide Katheten um 2 verkürzt.
Mach dir dazu eine Skizze!

Nehmen wir mal dein erstes Beispiel zur Hand: Das Dreieck hat die Kathetenlängen 4 und 7. Der Flächeninhalt beträgt 14.
Welchen Flächeninhalt hat das "verkleinerte" Dreieck mit den Kathetenlängen 2(=4-2) und 5=7-1)? Ist dieser um 10 kleiner als vorher?

(Wenn du b) gelöst hast, bekommst du automatisch auch die Antwort auf a).)

> Bei b) würde ich mich über einen Tipp freuen.

Ich gehe mal davon aus, dass mit "diesen Bedingungen" der allgemeine Aufgabentext ohne die Teilaufgabe a) gemeint ist.

Nennen wir die Katheten eines der gesuchten rechtwinkligen Dreiecke mal $a$ und $b$. Dann beträgt der Flächeninhalt [mm] $A=\frac 12\cdot a\cdot [/mm] b$.
Wenn man beide Katheten um 2 verkürzt, beträgt der Flächeninhalt noch [mm] $A^\prime =\frac 12\cdot [/mm] (a-2)(b-2)$.

Nun soll [mm] $A^\prime$ [/mm] um 10 kleiner sein als $A$, d.h. [mm] $A=A^\prime [/mm] +10$.
Setze hier die oben genannten Formeln ein und vereinfache. Am Ende sollte die Gleichung die Form $a+b= [mm] \ldots$ [/mm] haben und dir die gesuchte(n) Summe(n) angeben. Wie viele Lösungen gibt es?

Teiaufgabe c) läuft analog: $A$ bleibt gleich, die Katheten werden aber diesmal um 2 verlängert und die Änderung des Flächeninhalts ist eine Vergrößerung um 14.

Zeig uns deine Rechnungen, falls du Schwierigkeiten hast.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Geometrie, rechtw. Dreiecke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Fr 12.10.2018
Autor: knorki7

Also ich habe das jetzt so verstanden:

1/2*a*b = 1/2*(a-2)*(b-2)+10
1/2*a*b = 1/2*(ab-2a-2b+4)+10
1/2ab = 1/2ab-a-b+2+10
1/2ab = 1/2ab-a-b+12
a+b=12

Das heißt also, die Summe der Katheten muss immer 12 ergeben, damit die Bedingung erfüllt ist und somit ist meine Antwort unter a) falsch.

Beispiel: Katheten 7 und 5 ergibt A = 17,5
Katheten 5 und 3 ergibt A = 7,5

Passt also!



Für c kommt ebenfalls 12 als Summe der Katheten raus.
1/2ab+14 = 1/2(a+2)(b+2)
a+b = 12

Beispiel: 5 und 7 Kathetenlänge ergibt A = 17,5
7 und 9 Kathetenlänge ergibt A = 31,5

Müsste soweit passen :)


Bezug
                        
Bezug
Geometrie, rechtw. Dreiecke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Fr 12.10.2018
Autor: Fulla


> Also ich habe das jetzt so verstanden:

>

> 1/2*a*b = 1/2*(a-2)*(b-2)+10
> 1/2*a*b = 1/2*(ab-2a-2b+4)+10
> 1/2ab = 1/2ab-a-b+2+10
> 1/2ab = 1/2ab-a-b+12
> a+b=12

[ok] Soweit richtig!

> Das heißt also, die Summe der Katheten muss immer 12
> ergeben, damit die Bedingung erfüllt ist und somit ist
> meine Antwort unter a) falsch.

Gibt es wirklich keine Konstellation, wo die Summe der beiden Katheten 12 ergibt und eine davon die Länge 4 hat?

> Beispiel: Katheten 7 und 5 ergibt A = 17,5
> Katheten 5 und 3 ergibt A = 7,5

>

> Passt also!

Ja, das ist ein Beispiel für ein solches Dreieck, bei dem die Verkürzung der Katheten um jeweils 2 den Flächeninhalt um 10 vermindert.
Es gibt aber noch sehr viele mehr. Beispielsweise mit $a=7,1$ und $b=4,9$.

(Allgemeiner Hinweis: Es ist hier egal, ob du schreibst $a=7,1$ und $b=4,9$ oder $a=4,9$ und $b=7,1$, da die Aufgabe uns keine Benennung vorgibt - wir haben $a$ und $b$ ja selbst willkürlich festgelegt, ohne genau anzugeben, welche Kathete jeweils genau gemeint ist.

> Für c kommt ebenfalls 12 als Summe der Katheten raus.
> 1/2ab+14 = 1/2(a+2)(b+2)
> a+b = 12

[ok] Richtig.

> Beispiel: 5 und 7 Kathetenlänge ergibt A = 17,5
> 7 und 9 Kathetenlänge ergibt A = 31,5

>

> Müsste soweit passen :)

Das ist wieder nur ein Beispiel.
Was ist dann die Antwort auf die Frage "Welche Dreiecke vergrößern zusätzlich ihren Flächeninhalt um 14, wenn man beide Katheten jeweils um 2 verlängert?"

Du weißt aus b), dass sich der Flächeninhalt aller rechtwinkligen Dreiecke, deren Katehtensumme 12 beträgt um 10 vermindert, wenn man die Katheten jeweils um 2 verkürzt.
Aus der Rechnung in c) weißt du, dass sich der Flächeninhalt aller rechtwinkligen Dreiecke, deren Katehtensumme 12 beträgt um 14 erhöht, wenn man die Katheten jeweils um 2 verlängert.

Die Frage in c) lautet umformuliert: Für welche Dreiecke gilt beides?

Du bist fast fertig!

Liebe Grüße,
Fulla

Bezug
                                
Bezug
Geometrie, rechtw. Dreiecke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Fr 12.10.2018
Autor: knorki7

Hmm, ich dachte ich bin schon fertig.

Nochmal kurz zusammengefasst:

Beträgt die Summe der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks 12, so vermindert sich der Flächeninhalt um 10, wenn man die Katheten jeweils um 2 verkürzt.

Beträgt die Summe der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks 12, so erhöht sich der Flächeninhalt um 14, wenn man die Katheten jeweils um 2 verlängert.

Die Frage in c) ist nun, welche Dreiecke vereinen beide Eigenschaften die oben genannt sind. Das verwirrt mich insofern, als dass bei beiden ja a+b=12 heraus kam.

Somit dachte ich, dass wenn die Summe der Katheten 12 ist, beide Eigenschaften für jedes rechtwinklige Dreieck bereits erfüllt sind?

Wenn das nicht der Fall ist, würde das ja bedeuten, es gibt rechtwinklige Dreiecke, dessen Kathetensumme 12 beträgt, dessen Flächeninhalt sich um 10 vermindert, wenn man die Katheten jeweils um 2 verkürzt, ABER

dessen Flächeninhalt sich NICHT um 14 vergrößert, wenn man die Katheten um 2 verlängert.

Das würde aber doch dem Ergebnis a+b=12 widersprechen unter c)? Oder wo habe ich hier einen Denkfehler?

1/2(a+2)(b+2)-10=1/2(a-2)(b-2)+14 liefert auch wieder a+b=12

Was übersehe ich hier?

Bezug
                                        
Bezug
Geometrie, rechtw. Dreiecke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:57 Sa 13.10.2018
Autor: leduart

Hallo
du hast keinen Denkfehler, die Antwort ist eben bei allen bei denen sich die Fläche um 10 vermindert, wenn man um 2 kürzt vermehrt sich die Fläche um 14 wenn man um 2 verlängert. Wahrscheinlich wollte der L nur sicher machen, dass ihr nicht nur ein Beispiel rechnet, wie du es ja anfangs gemacht hast.
gruß ledum

Bezug
                                                
Bezug
Geometrie, rechtw. Dreiecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 Mo 15.10.2018
Autor: abakus

Ich sollte doch öfter hier vorbeischauen.

Ihr habt gerade einem Schüler eine Aufgabe zur ersten Runde der MO gelöst.

Bezug
                                                        
Bezug
Geometrie, rechtw. Dreiecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Mo 15.10.2018
Autor: knorki7

Ich habe nicht daran teilgenommen, auch ist bei uns in NRW der Abgabezeitraum vorbei, weil bereits Ferien sind.

Ich wollte nur aus reinem Interesse wissen, ob ich da auf dem richtigen Weg bin.

Also keine Sorge, ich betrüge nicht indem ich mir bei den Lösungen helfen lasse!!!

Bezug
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