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| Aufgabe | Man berechne die Eigenwerte, die Eigenvektoren, eine Basis jedes Eigenraumes un die Algebraische und die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes.
a) [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
b) [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 }
[/mm]
c) [mm] A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 } [/mm] |
Ich hänge so ein bischen bei der Vielfachheit der eigenwerte und bei der Basis des Eigenraumes.
Ich hab das beispiel jetzt gerechnet wie folgt:
[mm] det(A-\lambda*I) [/mm] = [mm] \vmat{ 1-\lambda & 2 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda }
[/mm]
Das ergebnis wenn ich alles auflöse kommt bei mir [mm] \lambda^2-\lambda^3. [/mm]
Jetzt hab ich gesagt [mm] \lambda*(\lambda-\lambda^2) [/mm] = 0
--> [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0
Weiter hab ich jetzt nur die klammer behandelt um [mm] \lambda_{2} [/mm] und [mm] \lambda_{3} [/mm] zu Bestimmen.
Ergebnis durch Quadratische Gleichung
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
Damit hab ich ein doppelten eigenwert [mm] \lambda_{1,3} [/mm] = 0
Eigenvektor Bestimmung für [mm] \lambda_{1.3} [/mm] = 0
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } *\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Gauß'she Eliminationsverfahren liefert
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 &1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Somit ist z Freiwählbar und y = -z
Wähle z [mm] t\in\IR [/mm] --> y = -t
x = 2t
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] t*\vektor{2\\-1\\1}
[/mm]
für [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 hab ich das selbe gemacht und Eigenvektor [mm] v_{2} [/mm] = [mm] t*\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
Doch wie bestimme ich nun eine Basis und die Vielfachheit?
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Hallo bonzai0710,
> Man berechne die Eigenwerte, die Eigenvektoren, eine Basis
> jedes Eigenraumes un die Algebraische und die geometrische
> Vielfachheit jedes Eigenwertes.
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> a) [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
> b)
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 }[/mm]
> c)
> [mm]A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Ich hänge so ein bischen bei der Vielfachheit der
> eigenwerte und bei der Basis des Eigenraumes.
>
> Ich hab das beispiel jetzt gerechnet wie folgt:
>
> [mm]det(A-\lambda*I)[/mm] = [mm]\vmat{ 1-\lambda & 2 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda }[/mm]
>
> Das ergebnis wenn ich alles auflöse kommt bei mir
> [mm]\lambda^2-\lambda^3.[/mm]
>
> Jetzt hab ich gesagt [mm]\lambda*(\lambda-\lambda^2)[/mm] = 0
> --> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 0
> Weiter hab ich jetzt nur die klammer behandelt um
> [mm]\lambda_{2}[/mm] und [mm]\lambda_{3}[/mm] zu Bestimmen.
>
> Ergebnis durch Quadratische Gleichung
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
>
> Damit hab ich ein doppelten eigenwert [mm]\lambda_{1,3}[/mm] = 0
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eigenvektor Bestimmung für [mm]\lambda_{1.3}[/mm] = 0
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } *\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> Gauß'she Eliminationsverfahren liefert
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 &1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Somit ist z Freiwählbar und y = -z
> Wähle z [mm]t\in\IR[/mm] --> y = -t
> x = 2t
>
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]t*\vektor{2\\-1\\1}[/mm]
>
> für [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1 hab ich das selbe gemacht und
> Eigenvektor [mm]v_{2}[/mm] = [mm]t*\vektor{1\\0\\1}[/mm]
>
> Doch wie bestimme ich nun eine Basis und die Vielfachheit?
>
Für die Eigenwerte 0,1 hast Du jeweils einen Eigenvektor herausbekommen.
Damit ist die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte 0 und 1 je 1.
Basen der Eigenräume zu den Eigenwerten hast
Du mit der Ermittlung der Eigenvektoren schon bestimmt.
Gruss
MathePower
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Also hatt [mm] \lambda=1 [/mm] die algebraische Vielfachheit von 2
Und der Eigenvektor von [mm] \lambda [/mm] = 1 die Geometrische Vielfachheit von 1
[mm] \lambda=0 [/mm] die algebraische Vielfachheit von 1
Und der Eigenvektor von [mm] \lambda [/mm] = 0 die Geometrische Vielfachheit von 1
Die Basis meines Eigenraumes sind die Eigenvektoren also
Basis Eigenraum = [mm] \{\vektor{2\\ -1\\-1},\vektor{1 \\ 0\\1}\}
[/mm]
Ich habe jetzt auch b) berechnet und habe noch eine kleine Frage:
meine [mm] \lambda [/mm] werte sind 3 und -1 für -1 erhalte ich die matrix
[mm] \pmat{ 2 & 0&2 \\ 3 & 0&3 \\ 2 & 0&2 }
[/mm]
Wenn ich das ganze auf zeilenstufen form bringe erhalte ich
[mm] \pmat{ 2 & 0&2 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 }
[/mm]
Somit wäre mein y Freiwählbar als auch mein z Frei wählbar.
Wähle y = [mm] s\in\IR
[/mm]
Wähle z = [mm] t\in\IR
[/mm]
Damit würde ich für v = [mm] \vektor{-t\\s\\t} [/mm] erhalten.
Kann ich jetzt sagen v = [mm] s*\vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1\\0\\1} [/mm]
-> [mm] v_{1} [/mm] = [mm] s*\vektor{0\\1\\0} v_{2} [/mm] = [mm] t*\vektor{-1\\0\\1} [/mm]
Damit wäre die Algebraische Vielfachheit gleich der Geometrischen Vielfachheit für [mm] \lambda [/mm] = -1. und die ist 2
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Hallo bonzai0710,
> Also hatt [mm]\lambda=1[/mm] die algebraische Vielfachheit von 2
> Und der Eigenvektor von [mm]\lambda[/mm] = 1 die Geometrische
> Vielfachheit von 1
> [mm]\lambda=0[/mm] die algebraische Vielfachheit von 1
> Und der Eigenvektor von [mm]\lambda[/mm] = 0 die Geometrische
> Vielfachheit von 1
>
> Die Basis meines Eigenraumes sind die Eigenvektoren also
>
> Basis Eigenraum = [mm]\{\vektor{2\\ -1\\-1},\vektor{1 \\ 0\\1}\}[/mm]
>
Der Eigenvektor zu [mm]\lambda=0[/mm] ist
eine Basis des Eigenraums zum selben Eigenwert.
Analog für [mm]\lambda=1[/mm]
> Ich habe jetzt auch b) berechnet und habe noch eine kleine
> Frage:
> meine [mm]\lambda[/mm] werte sind 3 und -1 für -1 erhalte ich die
> matrix
> [mm]\pmat{ 2 & 0&2 \\ 3 & 0&3 \\ 2 & 0&2 }[/mm]
>
> Wenn ich das ganze auf zeilenstufen form bringe erhalte ich
> [mm]\pmat{ 2 & 0&2 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 }[/mm]
>
> Somit wäre mein y Freiwählbar als auch mein z Frei
> wählbar.
> Wähle y = [mm]s\in\IR[/mm]
> Wähle z = [mm]t\in\IR[/mm]
>
> Damit würde ich für v = [mm]\vektor{-t\\s\\t}[/mm] erhalten.
>
> Kann ich jetzt sagen v = [mm]s*\vektor{0\\1\\0}[/mm] +
> [mm]t*\vektor{-1\\0\\1}[/mm]
> -> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]s*\vektor{0\\1\\0} v_{2}[/mm] = [mm]t*\vektor{-1\\0\\1}[/mm]
>
> Damit wäre die Algebraische Vielfachheit gleich der
> Geometrischen Vielfachheit für [mm]\lambda[/mm] = -1. und die ist 2
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 16.02.2012 | | Autor: | bonzai0710 |
Ich bedanke mich für die Hilfe ich denke jetzt ich hab das soweit alles verstanden vielen dank nochmal :)
mfg
Bonzai
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