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Forum "Uni-Stochastik" - Geometrisch verteilte ZV
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Geometrisch verteilte ZV: Konstruktion einer ZV
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Do 22.11.2018
Autor: Spalding

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit Zufallsvariablen und deren Dichten sowie Verteilungen.
Genauer gesagt bin ich zur Zeit bei der geometrischen Verteilung.
Hier handelt es sich bspw. "das Warten auf den ersten Erfolg".

Sagen wir mal ich würfele und frage mich, wie lange es bis zum ersten 1 dauert.
Ich weiß auch, wie ich das berechnen kann, also Fragen der Form:
"Wie hoch ist die WK erst im 4. Versuch eine 1 zu würfeln?" etc.

Jetzt stellt sich mir aber die Frage, wie sehen eig. Urbild und Bildbereich hierzu aus?
Wenn ich von der Frage "Wie hoch ist die WK erst im 4. Versuch eine 1 zu würfeln?" ausgehe, dann müsste mein Urbild ja [mm] \{1,2,3,4,5,6\}^4 [/mm] sein oder?
Wie wäre denn mein Bildbereich?

Oder ist die Zufallsvariable schlicht eine Abbildung die 2,3,4,5,6 auf Niete und 1 auf Erfolg abbildet? Könnte ich diese ZV dann einfach hoch 4 nehmen für den vierten Versuch?


Die geometrische Verteilung modelliert also das Warten auf den ersten Erfolg.
Wie ist nun eine allgemeinere Zufallsvariable, die geometrisch verteilt ist?
Also beispielsweise, dass erst im n-ten Versuch eine 1 fällt?


Einen schönen Abend


        
Bezug
Geometrisch verteilte ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:48 Fr 23.11.2018
Autor: GeoRie

In deinem Beispiel interessiert dich doch nur Erfolg d.h. 1 oder Misserfolg, alles außer 1. Das nennt sich Bernoulli Verteilung.

Um die WK erst beim 4. Mal würfeln einen Treffer zu landen, musst du 3 Mal davor keinen Treffer gelandet haben und im 4. Einen Treffer, sprich [mm] ((5/6)^3)*1/6 [/mm]

Bezug
                
Bezug
Geometrisch verteilte ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:26 Fr 23.11.2018
Autor: Spalding

Das ist richtig und soweit auch verständlich. Aber wie sieht die zugehörige Zufallsvariable aus?

[mm] \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] --> [mm] \{0,1\} [/mm]
wobei 1 - Erfolg und 0 - Misserfolg?



Bezug
                        
Bezug
Geometrisch verteilte ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Fr 23.11.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du hast in deiner Frage doch schon ein konkretes Beispiel angegeben, und musst das nur noch als ZV modellieren.

Also wir nehmen:
"Sagen wir mal ich würfele und frage mich, wie lange es bis zum ersten 1 dauert"

Gibt es eine maximale Anzahl an Würfen, die man brauchen kann, bis dein gewünschtes Ereignis sicher eintritt? Nein!
Gibt es also einen maximalen Wert, den deine ZV annehmen kann? Nein!

Ergo muss dein Urbildbereich sowas abdecken wie "ich würfle unendlich oft" und dein Bildbereich muss (mindestens) die natürlichen Zahlen abdecken.

Unendliche Würfelwürfe kann man ja modellieren durch [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \left\{ \omega = (\omega_1,\omega_2,\ldots), \omega_i \in \{1,\ldots,6\}\right\} [/mm] = [mm] \{1,\ldots,6\}^\IN$ [/mm]

Das ist zwar eine Vereinfachung, weil man eben annimmt, dass man nach der ersten 1 einfach weiterwürfelt, das macht aber bei geeigneter Modellierung durch die ZV nichts.
Sinnvoll wäre nun also deine ZV zu definieren als:

[mm] $X(\omega) [/mm] = [mm] \min\{j\;|\; \omega_j = 1\}$ [/mm]

Dann ist X gerade die Anzahl an Würfen, die ich brauchte, bis zum ersten Mal eine 1 aufgetreten ist in der Wurffolge [mm] $\omega$. [/mm] Was danach passiert, ist für X irrelevant, darum macht das "mehr an Informationen" in [mm] $\Omega$ [/mm] nichts aus. Rein formal kann X dann auch unendlich sein, d.h. es wäre eine ZV

$X: [mm] \Omega \to \IN \cup \{\infty\}$ [/mm]

Wie bereits oben gesagt, beinhaltet unser [mm] $\Omega$ [/mm] ja nun eigentlich "mehr" Elemente als wir eigentlich betrachten wollen. Das macht aber nichts, weil man das durch eine geeignete Wahl des W-Maßes sowie der ZV "geraderückt".
Wie oben schon erwähnt: X ist es völlig egal, was nach der ersten 1 mit der Wurffolge passiert, das kann man dann also ignorieren.

Du wirst feststellen: Möchtest du ein "genaueren" Urbildraum verwenden, so wäre das in deinem Fall:

[mm] $\Omega' [/mm] = [mm] \bigcup_{n\in\IN} \left\{ \omega = (\omega_1,\ldots,\omega_n), \omega_j \in \{2,\ldots,5\}, j \in \{1,\ldots,n-1\}, \omega_n = 1\right\}$ [/mm]

Schaut viel komplizierter aus, ist es auch, aber das entspricht genau dem von dir beschriebenen Sachverhalt: Wir würfeln n-1 mal Zahlen aus [mm] $\{2,\ldots,5\}$ [/mm] und der n-te Wurf ist eine 1.
Und weil wir nicht wissen, bei welchem Wurf das passiert, müssen wir das für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] machen. Theoretisch kann es ja auch sein, dass wir unendlich oft keine 1 Würfeln, d.h. wir müssen das noch hinzunehmen und bekämen:

[mm] $\tilde{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega' \cup \{2,\ldots,5\}^\IN$ [/mm]

Eine ZV die dein Versuch dann beschreibt, wäre dann:
[mm] $\tilde{X}(\omega) [/mm] = [mm] |\omega|$ [/mm] was wiederum eine Abbildung [mm] $\tilde{X}: \tilde{\Omega} \to \IN \cup \{\infty\}$ [/mm] wäre.

Du wirst aber feststellen: Die Arbeit mit X ist deutlich einfacher als mit [mm] $\tilde{X}$. [/mm]
D.h. man ist bei der Modellierung des [mm] $\Omega$ [/mm] immer etwas großzügiger mit den Informationen.

Gruß,
Gono


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Geometrisch verteilte ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Fr 23.11.2018
Autor: Spalding

Vielen Dank! Die Erklärung hilft wirklich sehr.
Kann man dann daraus folgern, dass die ZV X geometrisch verteilt ist oder wie?
Weil die geometrische Verteilung benutze ich ja, wenn ich "das warten auf den ersten Erfolg simuliere"?



Bezug
                                        
Bezug
Geometrisch verteilte ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Sa 24.11.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Vielen Dank! Die Erklärung hilft wirklich sehr.
>  Kann man dann daraus folgern, dass die ZV X geometrisch
> verteilt ist oder wie?
>  Weil die geometrische Verteilung benutze ich ja, wenn ich
> "das warten auf den ersten Erfolg simuliere"?

die Frage muss man abhängig von deinem Hintergrund beantworten.

1.) Bist du jemand, der Stochastik nur als "Nebenfach" belegen muss und eigentlich fachfremd ist, dann lautet die Antwort "Ja".  

2.) Bist du ein Mathematiker, dann lautet die Antwort: Nicht unbedingt. Die Verteilung von X hängt doch vom gewählten Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \Omega [/mm] ab!
Nimmst du als Maß allerdings die "natürliche" Wahrscheinlichkeit, die jedem einzelnen Würfelwurf die WKeit [mm] \frac{1}{6} [/mm] zuordnet, dann ist X geometrisch verteilt.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Geometrisch verteilte ZV: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:16 So 25.11.2018
Autor: Spalding

Vielen Dank für die Erklärung! Mir sagen WMaße etwas, bin allerdings davon ausgegangen,
dass man intuitive annimmt, dass das WMaß bei einem fairen Würfel das ist,
dass immer 1/6 zuordnet!

Danke nochmals

Bezug
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