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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Sa 12.04.2008 | | Autor: | PixCell |
Hallo zusammen,
im Rahmen eines Seminars über die geometrische Anwendung von DGL's soll ich Eigenschaften von Kurven, die eine Ableitung erfordern, vorstellen.
Dabei geht es um die Steigung der Kurvennormalen, die ja als [mm] -\bruch{dx}{dy}, [/mm] also dem negativen Kehrwert der Tangentesteigung definiert ist.
Mein Problem ist nun dass ich mir diese Formel geometrisch überhaupt nicht herleiten kann. Ich weiß, dass sich die Tangentensteigung als tan [mm] \alpha =\bruch{Gegenkathete1}{Ankathete1} [/mm] berechnet. Außerdem weiß ich, dass Tangente und Normale senkrecht zueinander stehen und sich im Punkt (x,y) schneiden. Also muss [mm] \beta [/mm] = 90° - [mm] \alpha [/mm] sein. Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter.
Ich müsste die Formel an angehängter Grafik verdeutlichen. Hier wäre ja mein tan [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{Ankathete2}{Gegenkathete2}. [/mm] Das ist ja schon mal irgendwie ein Kehrwert, aber wie die 4 Katheten zusamenhängen kapiere ich nicht. Das Steigungsdreieck der Normalen ist ja irgendwie auch das gedrehte Steigungsdreieck der Tangenten - aber irgendwas fehlt zum Verständnis....
Ich danke bereits vorab für Eure Hilfe.
Ach ja: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Du hast ja eigentlich schon fast alles zusammen.
Du hast auch schon festgestellt, daß du an der Normalen ein Dreieck ist das zu dem Steigungsdreieck ähnlich ist. (ähnlich: "gleiche Winkel")
hier kannst du ansetzen: In [mm] \tan\alpha=\frac{a}{b} [/mm] ist es völlig egal, ob a, b sich um einen bestimmten Faktor von den Längen in einem anderen, ähnlichen Dreieck unterscheiden, denn der kürzt sich raus.
Oder: Du drehst das Steigungsdreieck einfach um 90°, damit drehst du auch die Hypothenuse um 90°, und diese entsprach ja grade der Tangente bzw danach der Normalen.
Wegen dem negativen Vorzeichen: Der Winkel wird immer zwischen einer Graden und einer ins positive laufenden Horizontalen angegeben, also den "rechten", während du aber grade den "linken" berechnet hast.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:26 Sa 12.04.2008 | | Autor: | PixCell |
Hallo Event_Horizon!
Schon mal danke für Deine schnelle Hilfe.
Du sagst, der Trick ist die Ähnlichkeit der Dreiecke.
Wenn ich also das Steigungsdreieck der Normalen um 90° drehe, wird meine GK zur AK des Steigungsdreieck der Tangenten und umgekehrt meine AK zur GK des Steigungsdreieck der Tangenten:
Steigung der Normalen: [mm] m_{n} [/mm] = tan [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{GKn}{AKn} [/mm] = [mm] -\bruch{k \* AKt}{k \* GKt}
[/mm]
Wäre dann die Steigung meiner Normalen [mm] -\bruch{1}{tan \alpha}???
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 14.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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