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| Aufgabe | | Das wievielte Glied der geometrischen Folge [mm] \bruch{625}{32}, \bruch{125}{16}, \bruch{25}{8}, [/mm] ... heißt [mm] \bruch{32}{15625}, [/mm] wenn die Indizierung bei 1 beginnt? |
Hallo,
brauche für obige Aufgabe einen Ansatz.
Geometrische Folge: [mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1}
[/mm]
Das q konnte ich hier berechnen -> [mm] q=\bruch{a_{2}}{a_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{625}{32}}{\bruch{125}{16}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
O.K., ich könnte das erste Glied etwas zerlegen -> [mm] \bruch{625}{32} [/mm] = [mm] \bruch{5^{4}}{2^{5}} [/mm] und das letzte Glied auch -> [mm] \bruch{32}{15625} [/mm] = [mm] \bruch{2^{5}}{5^{6}}, [/mm] dieses letzte Glied könnte ich auch anders darstellen -> [mm] \bruch{5^{-6}}{2^{-5}}
[/mm]
Wenn ich jetzt die Differenz der Exponenten des ersten und letzten Gliedes bilde, erhalte ich 11.
Das ist aber leider vorbei am Thema.
Anderer Ansatz wäre gewesen, die Formel [mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1} [/mm] umzustellen -> [mm] q^{n-1}=\bruch{a_{n}}{a_{1}} [/mm] -> [mm] (n-1)lnq=ln(\bruch{a_{n}}{a_{1}}) [/mm] -> [mm] n=\bruch{lna_{n}-lna_{1}}{lnq}-1, [/mm] sieht aber auch nicht gut aus, zumal die Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden sollte.
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> Das wievielte Glied der geometrischen Folge
> [mm]\bruch{625}{32}, \bruch{125}{16}, \bruch{25}{8},[/mm] ... heißt
> [mm]\bruch{32}{15625},[/mm] wenn die Indizierung bei 1 beginnt?
> Hallo,
>
> brauche für obige Aufgabe einen Ansatz.
Hallo,
Du lieferst ja schon einen:
>
> Geometrische Folge: [mm]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}[/mm]
>
> Das q konnte ich hier berechnen -> [mm]q=\bruch{a_{2}}{a_{1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{625}{32}}{\bruch{125}{16}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
>
> O.K., ich könnte das erste Glied etwas zerlegen ->
> [mm]\bruch{625}{32}[/mm] = [mm]\bruch{5^{4}}{2^{5}}[/mm] und das letzte Glied
Aha. Da Du festgestellt hattest, daß [mm] q=\bruch{2}{5}, [/mm] haben wir also, wenn wir diese Erkenntnis sofort verwenden,
[mm] a_1=\bruch{1}{2}*(\bruch{2}{5})^{-4}=\bruch{1}{2}*(\bruch{2}{5})^{-5+1}
[/mm]
[mm] a_2=\bruch{1}{2}*(\bruch{2}{5})^{-3}=\bruch{1}{2}*(\bruch{2}{5})^{-5+2}
[/mm]
> auch -> [mm]\bruch{32}{15625}[/mm] = [mm]\bruch{2^{5}}{5^{6}},[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(\bruch{2}{5})^{6}=\bruch{1}{2}*(\bruch{2}{5})^{-5+11}.
[/mm]
> dieses
> letzte Glied könnte ich auch anders darstellen ->
> [mm]\bruch{5^{-6}}{2^{-5}}[/mm]
> Wenn ich jetzt die Differenz der Exponenten des ersten und
> letzten Gliedes bilde, erhalte ich 11.
>
> Das ist aber leider vorbei am Thema.
Nö. Wie Du obensiehst, liegst Du doch nicht schlecht.
Gruß v. Angela
>
> Anderer Ansatz wäre gewesen, die Formel
> [mm]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}[/mm] umzustellen ->
> [mm]q^{n-1}=\bruch{a_{n}}{a_{1}}[/mm] ->
> [mm](n-1)lnq=ln(\bruch{a_{n}}{a_{1}})[/mm] ->
> [mm]n=\bruch{lna_{n}-lna_{1}}{lnq}-1,[/mm] sieht aber auch nicht gut
> aus, zumal die Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst werden
> sollte.
>
>
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Hallo Angela,
danke schonmal für deine Antwort.
Gibt es evtl. eine "Formel", womit ich das n-te Glied direkt berechen kann, also irgendwas in der Form n=... ?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mo 20.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Angela,
>
> danke schonmal für deine Antwort.
>
> Gibt es evtl. eine "Formel", womit ich das n-te Glied
> direkt berechen kann, also irgendwas in der Form n=... ?
Hallo,
nicht n=..., sondern [mm] a_n=...
[/mm]
Du erhältst [mm] a_n, [/mm] wenn du [mm] a_1 [/mm] (n-1)mal mit q multiplizierst, also
[mm] a_n=a_1*q^{n-1}
[/mm]
Gruß Abakus
>
> MfG
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Hallo Abakus,
die Frage bezieht sich doch aber auf das n-te Glied. Die Frage lautet doch das wievielte Glied ist das angegebene, also wird nach n gefragt, oder? Das [mm] a_{n}-te [/mm] Glied ist ja bereits gegeben.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 20.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> die Frage bezieht sich doch aber auf das n-te Glied. Die
> Frage lautet doch das wievielte Glied ist das angegebene,
> also wird nach n gefragt, oder? Das [mm]a_{n}-te[/mm] Glied ist ja
> bereits gegeben.
>
> Gruß
Dann teile durch [mm] a_1 [/mm] und bilde den Logarithmus zur Basis q. Damit erhältst du (n-1).
Gruß Abakus
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Vielen dank erstmal.
Das läuft dann aber auf etwas ähnliches raus, wie in meinem Ausgangspost -> [mm] n=log_{q}(\bruch{a_{n}}{a_{1}})+1, [/mm] was ohne Taschenrechner sehr schwer wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 20.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Wie ist es mit folgender Umformulierung der Frage:
wie oft muss man [mm] $\bruch{1}{32}$ [/mm] mit 2 multiplizieren, damit 32 herauskommt?
Probe: wie oft muss man 625 durch 5 teilen, damit [mm] $\bruch{1}{15625}$ [/mm] herauskommt?
Da müsstest Du dann zur Not noch 25 * 625 schriftlich berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 21.09.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo chrisno,
mit deinem Ansatz bin ich zu einem durchaus schönen Ergebnis gelangt, vorallem ohne das ein Taschenrechner nötig wäre.
[mm] a_{n}=a_{1}q^{n-1} [/mm] -> mit den geg. Werten [mm] q=\bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] q^{n-1}=\bruch{a_{n}}{a_{1}} [/mm] -> [mm] q^{n-1}=\bruch{\bruch{32}{15625}}{\bruch{625}{32}} [/mm] = [mm] \bruch{32}{15625}\bruch{32}{625} [/mm] = [mm] \bruch{2^{5}}{5^{6}}\bruch{2^{5}}{5^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{10}}{5^{10}}
[/mm]
[mm] q^{n-1}=(\bruch{2}{5})^{10} [/mm] / [mm] log_{\bruch{2}{5}} [/mm] -> n-1=10 -> n=11 -> [mm] a_{11} [/mm] bzw. das 11te Glied
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Di 21.09.2010 | | Autor: | chrisno |
ok. Ich habe tatsächlich im Kopf mit 2 multipliziert und mitgezählt. Die Division durch 5 war wirklich nur eine Probe.
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