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Geometrische Herleitung: olympiade 46
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 So 30.03.2008
Autor: buddha

Aufgabe
461013
Im gleichschenkligen Trapez ABCD mit AB k DC, AD , BC und |AD| = |BC| sei O der
Diagonalenschnittpunkt. Ferner seien |<) BAC| = 60 sowie X, Y , Z die Mittelpunkte der
Strecken OA, OD bzw. BC.
Zeigen Sie, dass dann das Dreieck XY Z gleichseitig ist.

Die Aufgabe verwirrt mich gerade etwas. Zuersteinmal heißt "gleichseitig" ja, das alle seiten gleich lang sind.

das es nicht immer gleichseitig ist lässt sich direkt zeigen, wenn die strecke ab extrem viel länger ist als die strecke AD, sieht man direkt das die strecke

XY viel kürzer ist als die strecken XZ bzw YZ.
Vlt ist die aufgabenstellung ja so gemeint, das dieses dreieck immer gleichschenklig ist.

Das würde ich dann wie folgt beweisen.

a)
Man stelle sich ein Trapez vor das die obigen Bedingungen erfüllt, bei dem die strecke DC aber gegen 0 geht,
die figur die dann entsteht ist ein gleichschenkliges dreieck. die  Punkte X und Y lägen auf den mittelpunkten der strecken AD bzw BC, das entstehende dreieck XYZ wäre dadurch gleichseitig => gleichschenklig

B)
Man stelle sich ein Trapez vor das die obigen Bedingungen erfüllt, bei dem die strecke AD aber gegen 0 geht.
Damit geht die strecke DC gegen AB => das entstehende dreieck ist nicht gleichschenklig zumindest aber gleichzeitig XZ = YZ


Die 2 extrema erfüllen die voraussetzung gleichschenklig, da sich alle anderen Parallelogramme durch strecken oder stauchen herstellen lassen, denke ich das die aussage allgemein bewiesen ist
Die frage ist, sollte man die aufgabe so lösen? ich denke mal man sollte das irgendwie über winkelsummen, strahlen satz oder ähnliches beweisen.
wäre nett wenn das einer für mich ergänzen könnte :)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Geometrische Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 So 30.03.2008
Autor: abakus


> 461013
>  Im gleichschenkligen Trapez ABCD mit AB k DC, AD , BC und
> |AD| = |BC| sei O der
>  Diagonalenschnittpunkt. Ferner seien |<) BAC| = 60 sowie
> X, Y , Z die Mittelpunkte der
>  Strecken OA, OD bzw. BC.
>  Zeigen Sie, dass dann das Dreieck XY Z gleichseitig ist.
>  Die Aufgabe verwirrt mich gerade etwas. Zuersteinmal heißt
> "gleichseitig" ja, das alle seiten gleich lang sind.
>  
> das es nicht immer gleichseitig ist lässt sich direkt
> zeigen, wenn die strecke ab extrem viel länger ist als die
> strecke AD, sieht man direkt das die strecke
>  
> XY viel kürzer ist als die strecken XZ bzw YZ.

Das stimmt nicht. Du hast übersehen, dass das Trapez GLEICHSCHENKLIG sein soll UND der Winkel beim Diagonalenschnittpunkt 60° betragen soll. Beginne mit einer Skizze am besten so:

Zeichne dir ein gleichseitiges Dreieck ABO. O soll ja der Diagonalenschnittpunkt sein, so hast du dort gleich den geforderten 60°-Winkel. Verlängere AO und BO über O hinaus und finde dort C und D, indem du diese Verlängerungen von einer Parallele zu AB schneiden lässt..
Wenn du dann X und Y eingezeichnet hast, solltest du XY mal messen und mit AD vergleichen. Vielleicht fällt etwas auf.
Viele Grüße
Abakus


>  Vlt ist die aufgabenstellung ja so gemeint, das dieses
> dreieck immer gleichschenklig ist.
>  
> Das würde ich dann wie folgt beweisen.
>  
> a)
>  Man stelle sich ein Trapez vor das die obigen Bedingungen
> erfüllt, bei dem die strecke DC aber gegen 0 geht,
> die figur die dann entsteht ist ein gleichschenkliges
> dreieck. die  Punkte X und Y lägen auf den mittelpunkten
> der strecken AD bzw BC, das entstehende dreieck XYZ wäre
> dadurch gleichseitig => gleichschenklig
>  
> B)
>  Man stelle sich ein Trapez vor das die obigen Bedingungen
> erfüllt, bei dem die strecke AD aber gegen 0 geht.
>  Damit geht die strecke DC gegen AB => das entstehende

> dreieck ist nicht gleichschenklig zumindest aber
> gleichzeitig XZ = YZ
>  
>
> Die 2 extrema erfüllen die voraussetzung gleichschenklig,
> da sich alle anderen Parallelogramme durch strecken oder
> stauchen herstellen lassen, denke ich das die aussage
> allgemein bewiesen ist
>  Die frage ist, sollte man die aufgabe so lösen? ich denke
> mal man sollte das irgendwie über winkelsummen, strahlen
> satz oder ähnliches beweisen.
>  wäre nett wenn das einer für mich ergänzen könnte :)
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 So 30.03.2008
Autor: buddha

omg, aufgabe falsch gelesen :(

Die strecke muss halb so lang sein wie AD, das ist mir klar, wieso dann XZ und YZ = 1/2 AD kann ich mir nicht erklären

Bezug
                        
Bezug
Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 So 30.03.2008
Autor: abakus


> omg, aufgabe falsch gelesen :(
>
> Die strecke muss halb so lang sein wie AD, das ist mir
> klar, wieso dann XZ und YZ = 1/2 AD kann ich mir nicht
> erklären

Vergiss nicht, dass AD=BC gilt. Es reicht aus zu zeigen, dass XZ und YZ jeweils halb so lang sind wie BC (und die Hälften von BC hast du schon in deiner Zeichnung...)


Bezug
                                
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Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 So 30.03.2008
Autor: buddha

http://www.pictureupload.de/pictures/300308174152_arf.JPG

hier mal meine "skizze",

der nachweis XZ und YZ = 1/2 AD bzw = 1/2 BC erbringe ich leider immernoch nicht :/

Bezug
                                        
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Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:52 So 30.03.2008
Autor: abakus


> http://www.pictureupload.de/pictures/300308174152_arf.JPG
>  
> hier mal meine "skizze",
>
> der nachweis XZ und YZ = 1/2 AD bzw = 1/2 BC erbringe ich
> leider immernoch nicht :/

Z ist der Mittelpunkt von BC, also müsste gelten
ZB=ZX=ZY=ZC.
Auf welchem gemeinsamen geometrischen Ort würden dann die Punkte B, X, Y und C liegen?


Bezug
                                                
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Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 So 30.03.2008
Autor: buddha

Die Punkte lägen dann auf dem Kreis mit dem Radius AD/2 mit dem mittelpunkt Z.

AD wäre durchmesser des kreises.
Daraus würde folgen:

BC² = BY²+ CY² = CX² + CB²

aus dem dreieck YZC ergibt sich dann die strecke YZ
aus dem dreieck BZX ergibt sich dann die strecke XZ

ist das der weg? hatte grad nur 3 minuten zeit mir gedanken darüber zu machen.
Werde um halb 7 weg müssen, wär echt super wenn ich vorher noch die lösung zu gesicht bekäme, eigene gedanken machen stresst mich gerade zu sehr. nachvollziehen geht da immoment einfacher :)

schonmal danke im vorraus


Bezug
                                                        
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Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 So 30.03.2008
Autor: abakus


> Die Punkte lägen dann auf dem Kreis mit dem Radius AD/2 mit
> dem mittelpunkt Z.
>
> AD wäre durchmesser des kreises.
>  Daraus würde folgen:
>  
> BC² = BY²+ CY² = CX² + CB²
>  
> aus dem dreieck YZC ergibt sich dann die strecke YZ
>  aus dem dreieck BZX ergibt sich dann die strecke XZ
>  
> ist das der weg? hatte grad nur 3 minuten zeit mir gedanken
> darüber zu machen.

Über die Längen BX und CY weißt du ja gar nichts. Aber du musst schon zeigen, dass es rechtwinklige Dreiecke sind, dammit du mit Thales die Lage auf dem Kreis zeigen kannst.
Du musst z.B. nachweisen, dass CY senkrecht auf BD steht. (Was ist OCD für ein Dreieck und welche Rolle spielt CY in diesem Dreieck?)
Viele Grüße
Abakus




>  Werde um halb 7 weg müssen, wär echt super wenn ich vorher
> noch die lösung zu gesicht bekäme, eigene gedanken machen
> stresst mich gerade zu sehr. nachvollziehen geht da
> immoment einfacher :)
>  
> schonmal danke im vorraus
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 So 30.03.2008
Autor: buddha

Mh also
BX = AB + DC/2
CY = AB/2 + DC

====

Nach der Aufgabenstellung ist das Dreieck ODC gleichwinklig.
CY ist dabei die winkelhalbierende und steht damit  senkrecht auf OD bzw BD

Das die Punkte B , Y, X,C auf einem Kreis liegen, wenn die strecken gleich lang sind, ist ja logisch. Die Frage ist wie beweißt man das die Strecken immer gleich lang sind?

ansatz:

Da OD senkrecht auf BD gilt:

BC²= (AB+CD/2)²+(wurzel(3/4)*CD)² = (CD+AB/2)²+(wurzel(3/4)*AB)²

CY²=CD²-(CD/2)²=BC²-AB²


BC²= 3/4CD²+AB² = AB² +AB*CD +CD²

1/4CD² = AB * CD

1/4 CD = AB

CD = 4 AB

eine beziehung zwischen BC und XZ bz YZ bekomme ich einfach nicht hin und bin mitlerweile am kochen vor wut. es würde mir meinen seelenfrieden schenken wenn du mir die herleitung zuende machen könntest. Deine Art und weise mich der Lösung näher zu bringen ist zwar echt gut und besser, aber immoment bin ich leider kurz vorm ausrasten weil ichs nicht hinbekomme. und mitlerweile bin ich eigentlich hauptsächlich verwirrt



Bezug
                                                                        
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Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 So 30.03.2008
Autor: buddha

Mh kleine nachfrage.

Ich habe nachgewiesen das der winkel BXC bzw CYB rechtwinklig ist.

Kann ich jetzt so argumentieren?


Es gibt ein Dreieck BYC das einen rechtenwinkel bei x hat. Ziehen wir nun eine gerade, von X in die Mitte der strecke BC, ist BC immer der durchmesser eines Kreises mit dem Radius BC/2 => die strecke von X zum mittelpunkt der Strecke BC ist damit = R, damit ist bewiesen, das 1/2 BC =YZ buw XZ

oh man ich glaub das war der beweis oder ? :)



Bezug
                                                                        
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Geometrische Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:28 So 30.03.2008
Autor: abakus


> Mh also
> BX = AB + DC/2
> CY = AB/2 + DC
>  
> ====
>  
> Nach der Aufgabenstellung ist das Dreieck ODC
> gleichwinklig.
>  CY ist dabei die winkelhalbierende und steht damit  
> senkrecht auf OD bzw BD

Richtig! Damit kannst du dir den ganzen nachfolgenden Rattenschwanz sparen.
CY steht senkrecht auf OD, also:
Winkel BYC ist  90°, nach Umkehrung vom Satz des Thales
liegt Y auf einem Kreis mit dem Durchmesser BC, also ist der Radius ZY die Hälfte von BC.
Das Gleiche zeigst du noch für ZX.
Viele Grüße
Abakus


>
> Das die Punkte B , Y, X,C auf einem Kreis liegen, wenn die
> strecken gleich lang sind, ist ja logisch. Die Frage ist
> wie beweißt man das die Strecken immer gleich lang sind?
>  
> ansatz:
>  
> Da OD senkrecht auf BD gilt:
>  
> BC²= (AB+CD/2)²+(wurzel(3/4)*CD)² =
> (CD+AB/2)²+(wurzel(3/4)*AB)²
>  
> CY²=CD²-(CD/2)²=BC²-AB²
>  
>
> BC²= 3/4CD²+AB² = AB² +AB*CD +CD²
>  
> 1/4CD² = AB * CD
>  
> 1/4 CD = AB
>  
> CD = 4 AB
>  
> eine beziehung zwischen BC und XZ bz YZ bekomme ich einfach
> nicht hin und bin mitlerweile am kochen vor wut. es würde
> mir meinen seelenfrieden schenken wenn du mir die
> herleitung zuende machen könntest. Deine Art und weise mich
> der Lösung näher zu bringen ist zwar echt gut und besser,
> aber immoment bin ich leider kurz vorm ausrasten weil ichs
> nicht hinbekomme. und mitlerweile bin ich eigentlich
> hauptsächlich verwirrt
>
>  


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