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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | | Man untersuche die geometrische Reihe [mm] \summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu [/mm] mit [mm] q\in\IQ [/mm] auf Konvergenz. |
Hallo,
der Beweis ist mir nicht schwer gefallen, da ich schon im Rahmen der vollständigen Induktion zu beweisen hatte, dass [mm] \summe_{\nu=0}^{n}q^\nu=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] ist. Damit ergibt sich, dass für [mm] \left|q\right|<1 [/mm] gilt [mm] \summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu=\frac{1}{1-q} [/mm] . Für $q=1$ und $q=(-1)$ braucht man lediglich einzusetzen. Meine eigentliche Frage bezieht sich auf [mm] \left|q\right|>1 [/mm] . Dafür habe ich folgendes geschrieben:
Angenommen, [mm] \summe_{\nu=0}^{n}q^\nu [/mm] konvergierte gegen $s$. Dann konvergiert auch [mm] \summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu [/mm] gegen $s$. Daraus folgt: [mm] \summe_{\nu=0}^{n}q^\nu-\summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu=q^n [/mm] konvergiert gegen $s-s=0$. Setze ich aber [mm] \left|q\right|=1+a>1 [/mm] , folgt [mm] \left|q^n\right|=(1+a)^n>na [/mm] , was für große n größer als jede mögliche Schranke wird, weshalb [mm] {q^n} [/mm] nicht beschränkt ist und damit nicht, insbesondere nicht gegen 0, konvergiert. Deshalb divergiert auch [mm] \summe_{\nu=0}^{n}q^\nu [/mm] .
Ich habe mich nur gefragt, ob es unter Umständen einfachere oder elegantere Beweismethoden gibt und würde dies gerne an Euch weitergeben.
Liebe Grüße
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Hallo Axiom96,
fast gut!
> Man untersuche die geometrische Reihe
> [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu[/mm] mit [mm]q\in\IQ[/mm] auf Konvergenz.
> Hallo,
>
> der Beweis ist mir nicht schwer gefallen, da ich schon im
> Rahmen der vollständigen Induktion zu beweisen hatte, dass
> [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] ist. Damit
> ergibt sich, dass für [mm]\left|q\right|<1[/mm] gilt
> [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu=\frac{1}{1-q}[/mm] .
So ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für [mm]q=1[/mm] und
> [mm]q=(-1)[/mm] braucht man lediglich einzusetzen.
Das allerdings stimmt nicht! Denk nochmal drüber nach, ich habe den Eindruck, dass Du die richtige Lösung dafür selbst findest.
> Meine eigentliche
> Frage bezieht sich auf [mm]\left|q\right|>1[/mm] . Dafür habe ich
> folgendes geschrieben:
>
> Angenommen, [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu[/mm] konvergierte gegen [mm]s[/mm].
> Dann konvergiert auch [mm]\summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu[/mm] gegen [mm]s[/mm].
> Daraus folgt:
> [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu-\summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu=q^n[/mm]
> konvergiert gegen [mm]s-s=0[/mm].
Der Teil bis hier ist nicht nötig. Das sogenannte Trivialkriterium für Reihen besagt, dass die aufsummierte Folge eine Nullfolge sein muss. Für |q|>1 ist das nicht der Fall. Fertig.
> Setze ich aber
> [mm]\left|q\right|=1+a>1[/mm] , folgt [mm]\left|q^n\right|=(1+a)^n>na[/mm] ,
> was für große n größer als jede mögliche Schranke
> wird,
Sehr schön. Das ist eine gute Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Bernoullischen Ungleichung.
> weshalb [mm]{q^n}[/mm] nicht beschränkt ist
Richtig.
> und damit nicht,
> insbesondere nicht gegen 0, konvergiert.
Das besagt die Aussage "nicht beschränkt" doch auch schon.
> Deshalb divergiert
> auch [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu[/mm] .
>
> Ich habe mich nur gefragt, ob es unter Umständen
> einfachere oder elegantere Beweismethoden gibt und würde
> dies gerne an Euch weitergeben.
Siehe oben.
Und wie gesagt, trotzdem fast gut. Da steckt sichtlich einiges an Überlegung drin!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom96,
>
> fast gut!
>
> > Man untersuche die geometrische Reihe
> > [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu[/mm] mit [mm]q\in\IQ[/mm] auf Konvergenz.
> > Hallo,
> >
> > der Beweis ist mir nicht schwer gefallen, da ich schon im
> > Rahmen der vollständigen Induktion zu beweisen hatte, dass
> > [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] ist. Damit
> > ergibt sich, dass für [mm]\left|q\right|<1[/mm] gilt
> > [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu=\frac{1}{1-q}[/mm] .
>
> So ist es.
>
> > Für [mm]q=1[/mm] und
> > [mm]q=(-1)[/mm] braucht man lediglich einzusetzen.
>
> Das allerdings stimmt nicht! Denk nochmal drüber nach, ich
> habe den Eindruck, dass Du die richtige Lösung dafür
> selbst findest.
>
Ich meinte damit:
Für q=1 foglt: [mm] \summe_{\nu=0}^{n}q^\nu=\summe_{\nu=0}^{n}1=(n+1)*1. [/mm] Da dies unbeschränkt ist, divergiert die geometrische Reihe für q=1.
Für q=(-1) folgt: [mm] \lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{2n}q^\nu\not=\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{2n+1}q^\nu\ [/mm] womit ebenso die Divergenz folgt.
> > Meine eigentliche
> > Frage bezieht sich auf [mm]\left|q\right|>1[/mm] . Dafür habe ich
> > folgendes geschrieben:
> >
> > Angenommen, [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu[/mm] konvergierte gegen [mm]s[/mm].
> > Dann konvergiert auch [mm]\summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu[/mm] gegen [mm]s[/mm].
> > Daraus folgt:
> > [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu-\summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu=q^n[/mm]
> > konvergiert gegen [mm]s-s=0[/mm].
>
> Der Teil bis hier ist nicht nötig. Das sogenannte
> Trivialkriterium für Reihen besagt, dass die aufsummierte
> Folge eine Nullfolge sein muss. Für |q|>1 ist das nicht
> der Fall. Fertig.
>
Ich vermute, eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen 0 geht. Dieses Kriterium kenne ich noch nicht, sollte ich es aber beweisen, würde ich das nur als Verallgemeinerung meiner Überlegung zur geometrischen Reihe tun:
Sei [mm] {a_n} [/mm] eine Folge. Konvergiert [mm] \summe_{\nu=1}^{n}a_\nu [/mm] gegen s, so konvergiert auch [mm] \summe_{\nu=1}^{n-1}a_\nu [/mm] gegen s. Daraus folgt: [mm] \summe_{\nu=1}^{n}a_\nu-\summe_{\nu=1}^{n-1}a_\nu=a_n [/mm] konvergiert gegen s-s=0.
Wäre das so richtig?
> > Setze ich aber
> > [mm]\left|q\right|=1+a>1[/mm] , folgt [mm]\left|q^n\right|=(1+a)^n>na[/mm] ,
> > was für große n größer als jede mögliche Schranke
> > wird,
>
> Sehr schön. Das ist eine gute Anwendung der
> Bernoullischen Ungleichung.
>
> > weshalb [mm]{q^n}[/mm] nicht beschränkt ist
>
> Richtig.
>
> > und damit nicht,
> > insbesondere nicht gegen 0, konvergiert.
>
> Das besagt die Aussage "nicht beschränkt" doch auch
> schon.
>
> > Deshalb divergiert
> > auch [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu[/mm] .
> >
> > Ich habe mich nur gefragt, ob es unter Umständen
> > einfachere oder elegantere Beweismethoden gibt und würde
> > dies gerne an Euch weitergeben.
>
> Siehe oben.
> Und wie gesagt, trotzdem fast gut. Da steckt sichtlich
> einiges an Überlegung drin!
>
> Grüße
> reverend
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Hallo nochmal,
komisch, dass keiner antwortet. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> > fast gut!
> >
> > > Man untersuche die geometrische Reihe
> > > [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu[/mm] mit [mm]q\in\IQ[/mm] auf Konvergenz.
> > > Hallo,
> > >
> > > der Beweis ist mir nicht schwer gefallen, da ich schon im
> > > Rahmen der vollständigen Induktion zu beweisen hatte, dass
> > > [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] ist. Damit
> > > ergibt sich, dass für [mm]\left|q\right|<1[/mm] gilt
> > > [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu=\frac{1}{1-q}[/mm] .
> >
> > So ist es.
> >
> > > Für [mm]q=1[/mm] und
> > > [mm]q=(-1)[/mm] braucht man lediglich einzusetzen.
> >
> > Das allerdings stimmt nicht! Denk nochmal drüber nach, ich
> > habe den Eindruck, dass Du die richtige Lösung dafür
> > selbst findest.
> >
> Ich meinte damit:
> Für q=1 foglt:
> [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu=\summe_{\nu=0}^{n}1=(n+1)*1.[/mm] Da
> dies unbeschränkt ist, divergiert die geometrische Reihe
> für q=1.
> Für q=(-1) folgt:
> [mm]\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{2n}q^\nu\not=\lim_{n\to\infty}\summe_{\nu=0}^{2n+1}q^\nu\[/mm]
> womit ebenso die Divergenz folgt.
Ich nehme meine Bedenken zurück. Du hast es drauf.
Es war vorher nur nicht so klar ausgedrückt, worein Du eigentlich einsetzen willst; man hätte auch annehmen können, Du wollest für diese beiden Fälle Deine ansonsten richtige Summenformel anwenden.
So wie jetzt ist es aber perfekt begründet.
> > > Meine eigentliche
> > > Frage bezieht sich auf [mm]\left|q\right|>1[/mm] . Dafür habe ich
> > > folgendes geschrieben:
> > >
> > > Angenommen, [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu[/mm] konvergierte gegen [mm]s[/mm].
> > > Dann konvergiert auch [mm]\summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu[/mm] gegen [mm]s[/mm].
> > > Daraus folgt:
> > > [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu-\summe_{\nu=0}^{n-1}q^\nu=q^n[/mm]
> > > konvergiert gegen [mm]s-s=0[/mm].
> >
> > Der Teil bis hier ist nicht nötig. Das sogenannte
> > Trivialkriterium für Reihen besagt, dass die aufsummierte
> > Folge eine Nullfolge sein muss. Für |q|>1 ist das nicht
> > der Fall. Fertig.
> >
> Ich vermute, eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen 0
> geht.
Das nimmst Du richtig an.
> Dieses Kriterium kenne ich noch nicht, sollte ich es
> aber beweisen, würde ich das nur als Verallgemeinerung
> meiner Überlegung zur geometrischen Reihe tun:
>
> Sei [mm]{a_n}[/mm] eine Folge. Konvergiert [mm]\summe_{\nu=1}^{n}a_\nu[/mm]
> gegen s, so konvergiert auch [mm]\summe_{\nu=1}^{n-1}a_\nu[/mm]
> gegen s.
Mit der nötigen Pingeligkeit fehlt nur noch die Angabe "für [mm] n\to\infty", [/mm] auch wenn mir klar ist, dass Du das meinst.
> Daraus folgt:
> [mm]\summe_{\nu=1}^{n}a_\nu-\summe_{\nu=1}^{n-1}a_\nu=a_n[/mm]
> konvergiert gegen s-s=0.
>
> Wäre das so richtig?
Perfekt.
Man kann es auch anders herum annehmen: wenn [mm] a_n [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] gegen [mm] a\not=0 [/mm] konvergiert, dann folgt, dass die Reihe [mm] \summe_{\nu=1}^{\infty} [/mm] nicht beschränkt ist.
Die Schreibweise mit der unendlichen Summe ist eigentlich unsauber, aber so üblich.
> > > Setze ich aber
> > > [mm]\left|q\right|=1+a>1[/mm] , folgt [mm]\left|q^n\right|=(1+a)^n>na[/mm] ,
> > > was für große n größer als jede mögliche Schranke
> > > wird,
> >
> > Sehr schön. Das ist eine gute Anwendung der
> > Bernoullischen Ungleichung.
>
> >
> > > weshalb [mm]{q^n}[/mm] nicht beschränkt ist
> >
> > Richtig.
> >
> > > und damit nicht,
> > > insbesondere nicht gegen 0, konvergiert.
> >
> > Das besagt die Aussage "nicht beschränkt" doch auch
> > schon.
> >
> > > Deshalb divergiert
> > > auch [mm]\summe_{\nu=0}^{n}q^\nu[/mm] .
> > >
> > > Ich habe mich nur gefragt, ob es unter Umständen
> > > einfachere oder elegantere Beweismethoden gibt und würde
> > > dies gerne an Euch weitergeben.
> >
> > Siehe oben.
> > Und wie gesagt, trotzdem fast gut. Da steckt sichtlich
> > einiges an Überlegung drin!
Ich erhöhe und will sehen. 
Du argumentierst hervorragend und verstehst die Materie ganz offensichtlich. Manchmal solltest Du für die Vollständigkeit noch ein paar Dinge erwähnen, die Dir klar sind, aber für den Beweis nötige Voraussetzungen (siehe oben).
Was ich noch fragen will, ist nur, ob Deine Altersangabe und mathematische Vorbildung stimmt.
Dann würde ich meinen Hut noch tiefer vor Dir ziehen. ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Weiter so!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Di 21.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Siehe Private Nachricht
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