Geometrische Verteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:20 Di 21.09.2010 | | Autor: | T.T. |
| Aufgabe | Als Hans Maier nachts nach Hause kommt, ist es stockfinster. Von 10 Schlüsseln an seinem Bund versucht er, den passenden durch Ausprobieren zu finden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach spätestens 3 Versuchen ins Haus zu gelangen, wenn
a) er sich nicht merken kann, welchen Schlüssel er schon ausprobiert hat.
b) er sich merken kann, welchen Schlüssel er schon ausprobiert hat? |
Dieses Thema der Geometrischen Verteilung haben wir heute in der Schule als Referat erklärt bekommen.
Den Aufgabenteil a) habe ich mit der Formel [mm] P(x\le [/mm] k [mm] )=1-(1-p)^k
[/mm]
=> [mm] P(x\le [/mm] 3 [mm] )=1-(1-\bruch{1}{10})^3 [/mm] = 0,271 [mm] \approx [/mm] 27%
Muss ich bei Teil b) dann iwas mit [mm] \bruch{1}{10} [/mm] ; [mm] \bruch{2}{9} [/mm] und [mm] \bruch{3}{8} [/mm] berechnen? Weil er sich ja die Schlüssel merken kann.
Leider weiß ich nicht mit welcher Formel genau.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 21.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Als Hans Maier nachts nach Hause kommt, ist es
> stockfinster. Von 10 Schlüsseln an seinem Bund versucht
> er, den passenden durch Ausprobieren zu finden. Wie groß
> ist die Wahrscheinlichkeit, nach spätestens 3 Versuchen
> ins Haus zu gelangen, wenn
>
> a) er sich nicht merken kann, welchen Schlüssel er schon
> ausprobiert hat.
> b) er sich merken kann, welchen Schlüssel er schon
> ausprobiert hat?
> Dieses Thema der Geometrischen Verteilung haben wir heute
> in der Schule als Referat erklärt bekommen.
>
> Den Aufgabenteil a) habe ich mit der Formel [mm]P(x\le[/mm] k
> [mm])=1-(1-p)^k[/mm]
>
> => [mm]P(x\le[/mm] 3 [mm])=1-(1-\bruch{1}{10})^3[/mm] = 0,271 [mm]\approx[/mm] 27%
Richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Muss ich bei Teil b) dann iwas mit [mm]\bruch{1}{10}[/mm] ;
> [mm]\bruch{2}{9}[/mm] und [mm]\bruch{3}{8}[/mm] berechnen? Weil er sich ja
> die Schlüssel merken kann.
> Leider weiß ich nicht mit welcher Formel genau.
Mach doch einfach ein Baumdiagramm und betrachte folgende Ergebnisse
P("es klappt beim ersten Versuch")
P("es klappt beim zweiten Versuch")
P("es klappt beim dritten Versuch")
hinterher musst du sie noch alle addieren.
Und da helfen dir die drei Werte, die du schon genannt hast.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Di 21.09.2010 | | Autor: | T.T. |
hmm..ich habe jetzt mal ein Baumdiagramm gezeichnet
10 striche zu 10 Schlüsseln, einer ist der richtige Schlüssel (das wäre dann [mm] \bruch{1}{10} [/mm] ); von diesen 10 Schlüsseln gehen wiederum jeweils 9 Striche zu 9 weiteren Schlüsseln usw.
Die Frage war ja spätestens beim 3. Versuch.
wäre das dann [mm] \bruch{1}{10}+\bruch{2}{9}+\bruch{3}{8}=\bruch{251}{360}=0,697222 [/mm] (ca 70%)
Jetzt habe ich noch eine Frage und zwar kann ich das auch iwie ohne Baumdiagramm machen?
zB mit der Formel ich habe nämlich gerade ausprobiert
P(x [mm] \le [/mm] 3)= [mm] (1-(1-\bruch{1}{10}))+(1-(1-\bruch{2}{9}))+(1-(1-\bruch{3}{8}))= [/mm]
hier bin ich mir nicht so sicher.
Weil diese Aufgabe ja unter diesem Kapitel steht, glaube ich, dass das iwie auch mit der Formel gehen muss :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Di 21.09.2010 | | Autor: | Disap |
> hmm..ich habe jetzt mal ein Baumdiagramm gezeichnet
Gut!
> 10 striche zu 10 Schlüsseln, einer ist der richtige
Nicht gut.
> Schlüssel (das wäre dann [mm]\bruch{1}{10}[/mm] ); von diesen 10
> Schlüsseln gehen wiederum jeweils 9 Striche zu 9 weiteren
> Schlüsseln usw.
Statt die Schlüssel mit 1 bis 10 durchzunummerieren (was du hier gemacht hast, wenn du wohl 10 Striche zeichnest) solltest du einfach nur 2 Striche nehmen. Die gehen dann zu RICHTIGER SCHLÜSSEL oder FALSCHER SCHLÜSSEL. Und da sind die Wkts dann 1/10 oder 9/10
>
> Die Frage war ja spätestens beim 3. Versuch.
>
> wäre das dann
> [mm]\bruch{1}{10}+\bruch{2}{9}+\bruch{3}{8}=\bruch{251}{360}=0,697222[/mm]
> (ca 70%)
Nein, das ist "Unsinn".
> Jetzt habe ich noch eine Frage und zwar kann ich das auch
> iwie ohne Baumdiagramm machen?
Ja, man braucht kein Baumdiagramm. Man kanns einfach so hinschreiben. Es ist einfachste Wahrscheinlichkeitsrechnung (so wie ihr es in den ersten paar Stunden im Unterricht gemacht habt).
Mach dir klar, was gefragt wird.
P("es klappt beim ersten Versuch")
P("es klappt beim zweiten Versuch")
P("es klappt beim dritten Versuch")
Die Wkt, dass es beim ersten Versuch klappt, ist doch gerade 1/10. so weit ist es dir ja klar.
Un jetzt wieder zurück zur Denkensweise Baumdiagramm.
Wenn es erst beim zweiten Versuch klappt, heißt das doch, dass der erste schlüssel nicht der passende war.
Die Wkt, dass der Schlüssel nicht passt, ist doch gerade 9/10 (es gibt ja 9 falsche und 1 richtigen Schlüssel)
Den zweiten Schlüssel, den wir nehmen, der passt aber. Jetzt ist der Witz, wir haben uns gemerkt, welchen Schlüssel wir gerade probiert haben. Somit bleiben noch 9 mögliche Schlüssel übrig, von denen 8 nicht passen und einer der richtige ist. Die Wkt, den richtigen Schlüssel zufällig auszuwä#hlen, ist deswegen 1/9. Einen falschen zu erwischen wäre die Wkt übrigens 8/9.
Jetzt gehst du im Baumdiagramm ja von zu erst zu dem Ereignis: FALSCH, und dann zu RICHTIG. Und bei solchen Ast-Wanderungen (oder wie man es auch nennen mag) nimmt man die sogenannte Multiplikationsregel (vielleicht heißt sie auch anders). Wichtig ist nur, dass man diese beiden Wkts multipliziert.
Also
P("es klappt beim zweiten Versuch") = 9/10 *1/9
Dass es beim dritten Versuch klappt, solltest du alleine hinbekommen?
Du suchst das Ereignis FALSCH FALSCH RICHTIG. Ergo musst du drei Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
So, am Ende musst du noch
P("es klappt beim ersten Versuch") + P("es klappt beim zweiten Versuch")+P("es klappt beim dritten Versuch")
rechnen, denn wie du ja schon erkannt hast, wird die Wkt gesucht, dass der Hans spätestens beim dritten Versuch den richtigen Schlüssel findet (also die Wkts, ob es beim ersten, zweiten oder dritten Versuch klappt, gehören alle dazu. Erfolg gleich mit dem ersten Schlüssel wäre auch möglich)
>
> zB mit der Formel ich habe nämlich gerade ausprobiert
>
> P(x [mm]\le[/mm] 3)=
> [mm](1-(1-\bruch{1}{10}))+(1-(1-\bruch{2}{9}))+(1-(1-\bruch{3}{8}))=[/mm]
>
> hier bin ich mir nicht so sicher.
> Weil diese Aufgabe ja unter diesem Kapitel steht, glaube
> ich, dass das iwie auch mit der Formel gehen muss :)
Nein, hier geht das mit dieser Formel nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Di 21.09.2010 | | Autor: | T.T. |
okay ich habe es jetzt mal so gerechnet.
Ich bekomme raus:
1. Versuch richtiger Schlüssel= [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
2. Versuch richtiger Schlüssel= [mm] \bruch{9}{10}*\bruch{1}{9}=\bruch{1}{10}
[/mm]
3. Versuch richtiger Schlüssel= [mm] \bruch{9}{10}*\bruch{8}{9}*\bruch{1}{8}=\bruch{1}{10}
[/mm]
Alle 3 addiert ergibt [mm] \bruch{3}{10}
[/mm]
PS. es kommt mir ein bisschen komisch vor, dass bei allen 3 pfaden immer [mm] \bruch{1}{10} [/mm] rauskommt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 21.09.2010 | | Autor: | T.T. |
okay ich habe es jetzt mal so gerechnet.
Ich bekomme raus:
1. Versuch richtiger Schlüssel= $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $
2. Versuch richtiger Schlüssel= $ [mm] \bruch{9}{10}\cdot{}\bruch{1}{9}=\bruch{1}{10} [/mm] $
3. Versuch richtiger Schlüssel= $ [mm] \bruch{9}{10}\cdot{}\bruch{8}{9}\cdot{}\bruch{1}{8}=\bruch{1}{10} [/mm] $
Alle 3 addiert ergibt $ [mm] \bruch{3}{10} [/mm] $
PS. es kommt mir ein bisschen komisch vor, dass bei allen 3 pfaden immer $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $ rauskommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Disap |
> okay ich habe es jetzt mal so gerechnet.
> Ich bekomme raus:
>
> 1. Versuch richtiger Schlüssel= [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
> 2. Versuch richtiger Schlüssel=
> [mm]\bruch{9}{10}\cdot{}\bruch{1}{9}=\bruch{1}{10}[/mm]
> 3. Versuch richtiger Schlüssel=
> [mm]\bruch{9}{10}\cdot{}\bruch{8}{9}\cdot{}\bruch{1}{8}=\bruch{1}{10}[/mm]
>
> Alle 3 addiert ergibt [mm]\bruch{3}{10}[/mm]
Genau!
> PS. es kommt mir ein bisschen komisch vor,
Mir nicht...
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