Geometrisches Objekt-Gleichung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
| Aufgabe | | Überzeugen Sie sich davon, das mit [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] \vec{k} [/mm] = [mm] k^{2} [/mm] für festes [mm] \vec{k} [/mm] und k = [mm] |\vec{x}| [/mm] der Betrag von [mm] \vec{k} [/mm] die Ebene senkrecht zu [mm] \vec{k} [/mm] im Abstand k vom Ursprung ausgezeichnet ist. |
Leider kann ich keine Lösungsidee vorschlagen... Das Skalarprodukt liefert das Produkt (ein Skalar) aus der Länge des einen Vektors und der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor. Wie kann dann auf die Ebene senkrecht zum Vektor [mm] \vec{k} [/mm] verwiesen werden?
1000 Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
hier hast du wohl die Aufgabenstellung fehlerhaft angegeben. Ich verstehe diesen Satz schon rein grammatikalisch nicht, von der Semantik ganz zu schweigen.
Man kann höchstens ahnen, worauf das hinausläuft.
Bitte gib jetzt und zwar in diesem Thread, nicht in einem neuen die Aufgabenstellung nochmals korrekt wieder. Daneben kannst du ja noch schauen, ob dir folgendes etwas bringt:
[mm] k^2=\vec{k}*\vec{k}
[/mm]
Das kannst du nutzen, dann dieses Skalarprodukt auf die linke Seite bringen und dort das Distributiuvgesetz anwenden. Dann solltest du generell in Sachen Abstand zum Ursprung klarer sehen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
| Aufgabe | Überzeugen Sie sich davon, das mit [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] \vec{k} [/mm] = [mm] k^{2} [/mm]
- für festes [mm] \vec{k} [/mm] und k = [mm] |\vec{x}| [/mm] der Betrag von [mm] \vec{k} [/mm] -
die Ebene senkrecht zu [mm] \vec{k} [/mm] im Abstand k vom Ursprung ausgezeichnet ist. |
Hallo Diophant,
tatsächlich steht der Satz so in der Aufgabenstellung.
Ich habe jetzt Bindestriche eingefügt, um den Satz verständlicher zu machen. Der Inhalt zwischen den Bindestrichen ist sozusagen die Definition zur Gleichung und nicht direkter Teil der Frage der Aufgabenstellung.
Danke!
Lieben Gruß,
Nellie
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Hallo,
ja, jetzt mit den Gedankenstrichen ist es verständlich. Und genau diese Interpretation hatte mein Tipp aus dem vorigen Beitrag im Sinn. Es ist hier sehr wichtig, zum einen die Tatsache zu beachten, dass das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren gleich Null ist, auf der anderen Seite aber spielt bei diesen Abstandsüberlegungen auch immer der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Kosinussatz eine Rolle. Ist dir dieser Sachverhalt denn aus der Schule geläufig?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
Hallo Diophant,
vielen Dank für Deine Antwort!
Ujuj, ich bin ziemlich abgehängt...
Folgende Tipps habe ich von Dir:
Es gilt: [mm] k^2=\vec{k}\cdot{}\vec{k}
[/mm]
Du schlägst vor: Einsetzen in die Gleichung und umstellen. Mache ich:
[mm] \vec{x} \cdot{} \vec{k} [/mm] - [mm] \vec{k} \cdot{} \vec{k} [/mm] = 0
Dann Distributivgesetz:
[mm] \vec{k} \cdot{} (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{k}) [/mm] = 0
[mm] \gdw (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{k}) [/mm] = 0
Aber das gilt doch nur im Fall [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{k}.
[/mm]
Und was habe ich dann davon?
Du meintest, ich sollte dann generell in Sachen Abstand zum Ursprung klarer sehen. Hm... Leider nein... :(
Weitere Tipps von Dir:
- Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist gleich Null.
- Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Kosinussatz
Damit meinst Du, denke ich: [mm] \vec{a} \cdot{} \vec{b} [/mm] = [mm] |\vec{a}| \cdot{} |\vec{b}| \cdot{} cos\gamma(\vec{a}, \vec{b}).
[/mm]
Aber woher weißt Du, dass die Vektoren orthogonal sind? Weil [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{k} [/mm] = 0? Aber in dem Fall würden die Vektoren doch keine Ebene senkrecht zu [mm] \vec{k} [/mm] aufspannen, sondern tatsächlich eine Linie, nämlich die Linie [mm] \vec{k} [/mm] - [mm] \vec{k} [/mm] (siehe oben, weil [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{k}).
[/mm]
Hm... ...
Lieben Gruß!
Nellie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
| Aufgabe | Überzeugen Sie sich davon, das mit $ [mm] \vec{x} [/mm] $ * $ [mm] \vec{k} [/mm] $ = $ [mm] k^{2} [/mm] $
- für festes $ [mm] \vec{k} [/mm] $ und k = $ [mm] |\vec{k}| [/mm] $ der Betrag von $ [mm] \vec{k} [/mm] $ -
die Ebene senkrecht zu $ [mm] \vec{k} [/mm] $ im Abstand k vom Ursprung ausgezeichnet ist. |
oh nein - ich sehe gerade, dass doch ein Fehler in der Aufgabenstellung da ist - MIST! Tut mir voll leid - ich bin zum ersten Mal in so einem Forum und bin noch sehr unvertraut mit der Art des Schreibens hier - da ist mir doch glatt ein Fehler passiert... Entschuldige!!! Oben nun wirklich richtig... ... ... (ich hatte geschrieben: "für festes $ [mm] \vec{k} [/mm] $ und k = $ [mm] |\vec{x}| [/mm] $ der Betrag von $ [mm] \vec{k} [/mm] $ " Richtig ist aber: "für festes $ [mm] \vec{k} [/mm] $ und k = $ [mm] |\vec{k}| [/mm] $ der Betrag von $ [mm] \vec{k} [/mm] $ ")
Lieben Gruß,
Nellie
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Hallo Nellie,
> Überzeugen Sie sich davon, das mit [mm]\vec{x}[/mm] * [mm]\vec{k}[/mm] =
> [mm]k^{2}[/mm]
>
> - für festes [mm]\vec{k}[/mm] und k = [mm]|\vec{k}|[/mm] der Betrag von
> [mm]\vec{k}[/mm] -
>
> die Ebene senkrecht zu [mm]\vec{k}[/mm] im Abstand k vom Ursprung
> ausgezeichnet ist.
> oh nein - ich sehe gerade, dass doch ein Fehler in der
> Aufgabenstellung da ist - MIST! Tut mir voll leid - ich bin
> zum ersten Mal in so einem Forum und bin noch sehr
> unvertraut mit der Art des Schreibens hier - da ist mir
> doch glatt ein Fehler passiert... Entschuldige!!! Oben nun
> wirklich richtig... ... ... (ich hatte geschrieben: "für
> festes [mm]\vec{k}[/mm] und k = [mm]|\vec{x}|[/mm] der Betrag von [mm]\vec{k}[/mm] "
> Richtig ist aber: "für festes [mm]\vec{k}[/mm] und k = [mm]|\vec{k}|[/mm]
> der Betrag von [mm]\vec{k}[/mm] ")
Überhaupt kein Problem: davon geht man in der Normalenform der Ebene (und genau die liegt hier vor) sowieso aus: d.h., das mit dem festen k wurde im Sinne einer eindeutigen Aufgabnstellung (löblicherweise) nochmals erwähnt. 
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
> Ujuj, ich bin ziemlich abgehängt...
>
> Folgende Tipps habe ich von Dir:
> Es gilt: [mm]k^2=\vec{k}\cdot{}\vec{k}[/mm]
> Du schlägst vor: Einsetzen in die Gleichung und
> umstellen. Mache ich:
> [mm]\vec{x} \cdot{} \vec{k}[/mm] - [mm]\vec{k} \cdot{} \vec{k}[/mm] = 0
Ja, das habe ich gemeint.
> Dann Distributivgesetz:
> [mm]\vec{k} \cdot{} (\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{k})[/mm] = 0
> [mm]\gdw (\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{k})[/mm] = 0
Aber das ist falsch, denn es ist keine Äquivalenz. Richtig wäre
[mm]\vec{k}*(\vec{x}-\vec{k})=0 \gdw \vec{k} \perp \vec{x}-\vec{k}[/mm]
Und jetzt beachte zunächst, dass [mm] \vec{k} [/mm] ein Ortsvektor ist und dann, dass [mm] \vec{x}-\vec{k} [/mm] in der Ebene liegt. Insofern war mein Tipp mit dem Kosinussatz unnötig, denn hier an dieser Stelle bist du bereits fertig.
> Aber das gilt doch nur im Fall [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{k}.[/mm]
> Und was habe ich dann davon?
> Du meintest, ich sollte dann generell in Sachen Abstand
> zum Ursprung klarer sehen. Hm... Leider nein... :(
>
> Weitere Tipps von Dir:
> - Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist gleich Null.
> - Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Kosinussatz
> Damit meinst Du, denke ich: [mm]\vec{a} \cdot{} \vec{b}[/mm] =
> [mm]|\vec{a}| \cdot{} |\vec{b}| \cdot{} cos\gamma(\vec{a}, \vec{b}).[/mm]
Wie gesagt: sorry dafür, das war hier unnötig.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Nellie |
Hallo Diophant!
Vielen vielen lieben Dank für Deine Hilfe! Das war sehr toll! Und jetzt habe ich es verstanden - wenn es auch dolle viel Zeit gebraucht hat!
Lieben Gruß,
Nellie
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