Geordnete Basen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mi 12.05.2010 | | Autor: | lausch |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein endlich-erzeugter K-Vektorraum. Weiter seien U und W Untervektorräume von V. Zeigen Sie:
(i) Es gilt U [mm] \cap [/mm] W = {0} und U + W =V genau dann, wenn für jede geordnete Basis (u1,....,uk) von U und jede geordnete Basis (w1,....,wm) von W das Tupel (u1,....,uk,w1,....,wm) eine geordnete Basis von V ist.
(ii) Es gilt:
dimK(U +W) = dimk U +dimk W - dimk (U [mm] \capW):
[/mm]
Hinweis: Zählen Sie Vektoren in geeigneten Basen. |
Hallo zusammen,
ich komme mit aufgaben dieser art noch nicht wirklich zurecht. D.h. ich weiß garnicht was ich zu tun habe. Ich wäre um Denkanstöße oder jegliche sonstige Hilfen sehr froh ;)
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei K ein Körper und V ein endlich-erzeugter
> K-Vektorraum. Weiter seien U und W Untervektorräume von V.
> Zeigen Sie:
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> (i) Es gilt U [mm]\cap[/mm] W = {0} und U + W =V genau dann, wenn
> für jede geordnete Basis (u1,....,uk) von U und jede
> geordnete Basis (w1,....,wm) von W das Tupel
> (u1,....,uk,w1,....,wm) eine geordnete Basis von V ist.
> (ii) Es gilt:
> dimK(U +W) = dimk U +dimk W - dimk (U [mm]\capW):[/mm]
> Hinweis: Zählen Sie Vektoren in geeigneten Basen.
> Hallo zusammen,
>
> ich komme mit aufgaben dieser art noch nicht wirklich
> zurecht. D.h. ich weiß garnicht was ich zu tun habe. Ich
> wäre um Denkanstöße oder jegliche sonstige Hilfen sehr
> froh ;)
>
> gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Der Beweis von (i) geht in beide Richtungen.
Ich fang mal an mit [mm] $\Leftarrow$.
[/mm]
Sei [mm] $u_1,...,u_n$ [/mm] eine Basis von U und [mm] $w_1,...,w_m$ [/mm] eine Basis von W. Außerdem [mm] $u_1,...,u_n,w_1,...,w_m$ [/mm] eine Basis von V.
Wähle ein $u [mm] \in U\cap [/mm] W$ und zeigen u =0. Wg.$u [mm] \in U\cap [/mm] W$ gilt ja
$u = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i u_i$ [/mm]
und
$u = [mm] \summe_{i=1}^{m} b_i w_i$ [/mm]
Damit ist z.B.
$u=u$ somit
[mm] $\summe_{i=1}^{n} a_i u_i=\summe_{i=1}^{m} b_i w_i$
[/mm]
also
[mm] $0=\summe_{i=1}^{n} a_i u_i-\summe_{i=1}^{m} b_i w_i$
[/mm]
Da [mm] $u_1,...,u_n,w_1,...,w_m$ [/mm] eine Basis bildet, dann sind [mm] $u_1,...,u_n,w_1,...,w_m$ [/mm] alle linear unabh. Damit sind alle Koeff gleich Null und somit dein u=0.
....
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| Aufgabe | | Es gilt [mm] $U\cap V=\{0\}$ [/mm] und $U+W=V$ genau dann, wenn für jede geordnete Basis [mm] $(u_1,\dots,u_k)$ [/mm] von $U$ und jede geordnete Basis [mm] $(w_1,\dots,w_m)$ [/mm] von $W$ das Tupel [mm] $(u_1,\dots u_k,w_1,\dots,w_m)$ [/mm] eine geordnete Basis von V ist. |
Hey, Leute,
Bisher steh ich in Lineare Algebra recht auf der Leitung, und weiß hier kaum einen Ansatz. Ich weiß, dass Basen minimale linear unabhängige Erzeugendensysteme sind. Aber was für eine Information gibt, dass $U$ und $V$ disjunkt sind (bis auf den Nullvektor)? Woraus schließt man in der Hinrichtung, dass die "große" Basis überhaupt eine ist?
Dankesehr für Ansätze, Stefan.
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Hallo!
> Es gilt [mm]U\cap V=\{0\}[/mm] und [mm]U+W=V[/mm] genau dann, wenn für jede
> geordnete Basis [mm](u_1,\dots,u_k)[/mm] von [mm]U[/mm] und jede geordnete
> Basis [mm](w_1,\dots,w_m)[/mm] von [mm]W[/mm] das Tupel [mm](u_1,\dots u_k,w_1,\dots,w_m)[/mm]
> eine geordnete Basis von V ist.
> Hey, Leute,
>
> Bisher steh ich in Lineare Algebra recht auf der Leitung,
> und weiß hier kaum einen Ansatz. Ich weiß, dass Basen
> minimale linear unabhängige Erzeugendensysteme sind. Aber
> was für eine Information gibt, dass [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] disjunkt sind
> (bis auf den Nullvektor)? Woraus schließt man in der
> Hinrichtung, dass die "große" Basis überhaupt eine ist?
Nun, probieren wir es mal.
Es gelte also [mm] U\cap [/mm] V = [mm] \{0\} [/mm] und U+W = V.
Nun wollen wir zunächst zeigen, dass [mm] (u_{1},...,u_{k},w_{1},...,w_{m}) [/mm] Basis ist.
Wie fängt man da normalerweise an? Seien [mm] $\lambda_{1},...,\lambda_{k},\mu_{1},...,\mu_{m}\in [/mm] K$, so dass
[mm] $\lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k}*u_{k} [/mm] + [mm] \mu_{1}*w_{1} [/mm] + ... + [mm] \mu_{m}*w_{m} [/mm] = 0$.
Nun formen wir folgendermaßen um:
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k}*u_{k} [/mm] = [mm] -\mu_{1}*w_{1} [/mm] - ... [mm] -\mu_{m}*w_{m}$.
[/mm]
Nun überlege: Aus welchem Vektorraum muss der Vektor auf der linken Seite (also der gesamte Vektor, der also Summe der einzelnen entsteht) sein, aus welchem der auf der rechten Seite. Nun benutze die Voraussetzung [mm] $U\cap [/mm] V = [mm] \{0\}$.
[/mm]
Dann folgt: ...
Beim Erzeugendensystem genauso treudoof anfangen!
Sei $v [mm] \in [/mm] V$. Wegen V = U+W gibt es [mm] u\in [/mm] U, [mm] v\in [/mm] V so, dass v = u + w.
Nun kennen wir schon Basen von U und W...
Grüße,
Stefan
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> Hallo!
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> Nun, probieren wir es mal.
> Es gelte also [mm]U\cap[/mm] V = [mm]\{0\}[/mm] und U+W = V.
>
> Nun wollen wir zunächst zeigen, dass
> [mm](u_{1},...,u_{k},w_{1},...,w_{m})[/mm] Basis ist.
> Wie fängt man da normalerweise an? Seien
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{k},\mu_{1},...,\mu_{m}\in K[/mm], so
> dass
>
> [mm]\lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{k}*u_{k} + \mu_{1}*w_{1} + ... + \mu_{m}*w_{m} = 0[/mm].
>
> Nun formen wir folgendermaßen um:
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{k}*u_{k} = -\mu_{1}*w_{1} - ... -\mu_{m}*w_{m}[/mm].
>
> Nun überlege: Aus welchem Vektorraum muss der Vektor auf
> der linken Seite (also der gesamte Vektor, der also Summe
> der einzelnen entsteht) sein, aus welchem der auf der
> rechten Seite. Nun benutze die Voraussetzung [mm]U\cap V = \{0\}[/mm].
>
Wegen [mm] $U\cap W=\{0\}$ [/mm] müssen die aus demselben Vektorraum sein? Wie gesagt, ich weiß nicht, wie die die Bedingung mit einbeziehe. Sorry!
>
> Beim Erzeugendensystem genauso treudoof anfangen!
> Sei [mm]v \in V[/mm]. Wegen V = U+W gibt es [mm]u\in[/mm] U, [mm]v\in[/mm] V so, dass
> v = u + w.
> Nun kennen wir schon Basen von U und W...
>
Ich soll doch in der Rückrichtung zeigen, dass $V=U+W$ ist! Du nimmst hier das an, und warum ist jetzt von einem Erzeugendensystem die Rede?
> Grüße,
> Stefan
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Hallo!
> > Hallo!
> >
> > Nun, probieren wir es mal.
> > Es gelte also [mm]U\cap[/mm] V = [mm]\{0\}[/mm] und U+W = V.
> >
> > Nun wollen wir zunächst zeigen, dass
> > [mm](u_{1},...,u_{k},w_{1},...,w_{m})[/mm] Basis ist.
> > Wie fängt man da normalerweise an? Seien
> > [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{k},\mu_{1},...,\mu_{m}\in K[/mm], so
> > dass
> >
> > [mm]\lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{k}*u_{k} + \mu_{1}*w_{1} + ... + \mu_{m}*w_{m} = 0[/mm].
>
> >
> > Nun formen wir folgendermaßen um:
> >
> > [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*u_{1} + ... + \lambda_{k}*u_{k} = -\mu_{1}*w_{1} - ... -\mu_{m}*w_{m}[/mm].
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> >
> > Nun überlege: Aus welchem Vektorraum muss der Vektor auf
> > der linken Seite (also der gesamte Vektor, der also Summe
> > der einzelnen entsteht) sein, aus welchem der auf der
> > rechten Seite. Nun benutze die Voraussetzung [mm]U\cap V = \{0\}[/mm].
> Wegen [mm]U\cap W=\{0\}[/mm] müssen die aus demselben Vektorraum
> sein? Wie gesagt, ich weiß nicht, wie die die Bedingung
> mit einbeziehe. Sorry!
Was? Aus demselben Vektorraum?
Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Linearkombination von den Basisvektoren von U, also ist der gesamte linke Vektor aus U.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Linearkombination von den Basisvektoren von W, also ist der gesamte rechte Vektor aus W.
Wir haben nun also die Situation:
Vektor aus U = Vektor aus W.
Gleichzeitig gilt aber [mm] U\cap [/mm] W = [mm] \{0\}.
[/mm]
Es geht also nur:
Vektor aus U = 0 = Vektor aus W
klar?
Nun die Basiseigenschaft von den Basen von U und W ausnutzen.
> > Beim Erzeugendensystem genauso treudoof anfangen!
> > Sei [mm]v \in V[/mm]. Wegen V = U+W gibt es [mm]u\in[/mm] U, [mm]v\in[/mm] V so,
> dass
> > v = u + w.
> > Nun kennen wir schon Basen von U und W...
> >
>
> Ich soll doch in der Rückrichtung zeigen, dass [mm]V=U+W[/mm] ist!
> Du nimmst hier das an, und warum ist jetzt von einem
> Erzeugendensystem die Rede?
Es hörte sich so an, als wärt' ihr in der Vorlesung noch am Anfang. Für eine Basis muss man zeigen, dass sie linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist. Oben haben wir nur die lineare Unabhängigkeit gezeigt, jetzt käme der Teil "Erzeugendensystem".
Die Rückrichtung haben wir noch gar nicht angefangen!
Grüße,
Stefan
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OK, das mit dem Nullvektor ist klar! Die Basen sind jeweils linear unabhängig, aber was hilft mir das? Weiß ich dann, dass [mm] $(u_1,\dots,u_k,w_,1,\dots,w_k)$ [/mm] eine l.u. Basis von V ist? Dann wäre es ja ein Erz.Sys. Wenn ja, warum?
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Hallo!
Ein bissel mehr Ordnung in deinen Posts (bzw. was du gerade zeigen / verstehen willst), wäre nicht schlecht.
> OK, das mit dem Nullvektor ist klar! Die Basen sind jeweils
> linear unabhängig, aber was hilft mir das?
Das war jetzt zum Teil: Die angegebene Basis, die aus den Basisvektoren von U und W besteht, ist linear unabhängig. Wenn du nun weißt, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung
[mm] $\lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k}*u_{k} [/mm] = 0 = [mm] -\mu_{1}*w_{1} [/mm] - ... - [mm] \lambda_{m}*w_{m}$
[/mm]
gleich Null sein müssen, folgt nun aus der Basiseigenschaft der Basis von U und W weiter, dass alle Koeffizienten Null sein müssen. Damit haben wir die lineare Unabhängigkeit der angegebenen Basis, die aus den Basisvektoren von U und W besteht.
> Weiß ich dann,
> dass [mm](u_1,\dots,u_k,w_,1,\dots,w_k)[/mm] eine l.u. Basis von V
> ist? Dann wäre es ja ein Erz.Sys. Wenn ja, warum?
Du musst noch nachweisen, dass [mm] (u_{1},...,u_{k},w_{1},...,w_{m}) [/mm] ein EZS von V ist!
Das erfordert einen Extra-Beweis, und den Ansatz habe ich dir schon in beiden Posts vorher gegeben.
Grüße,
Stefan
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Entschuldige, bin wirklich blutiger Anfänger und mich regt auf dass das so schwerfällig läuft.
Aber so langsam machts klick.
Also, jeder Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ kann als $v=u+w$ dargestellt werden. Wir haben schon Basen von $U$ und $W$. Kann man jetzt die Basen addieren und dabei die Voraussetzung $V=U+W$ ausnutzen oder was?
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Hallo!
> Entschuldige, bin wirklich blutiger Anfänger und mich regt
> auf dass das so schwerfällig läuft.
 Jeder Anfang ist schwer...
> Also, jeder Vektor [mm]v\in V[/mm] kann als [mm]v=u+w[/mm] dargestellt
> werden.
Genau. Hierbei benutzt du bereits die Voraussetzung V = U+W, im Folgenden geht alles ohne weitere Voraussetzungen. Du musst nun v als Linearkombination der [mm] u_{i} [/mm] und [mm] w_{i} [/mm] schreiben.
> Wir haben schon Basen von [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm].
Exakt. Da v = u+w, und
[mm] u\in [/mm] U, gibt es [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{k}\in [/mm] K so, dass $u = [mm] \lambda_{1}*u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k}*u_{k}$. [/mm] Klar?
Entsprechend für [mm] w\in [/mm] W.
Dann schreibst du einfach noch brav auf:
v = u + w = ... + ...,
und du hast gezeigt, dass sich jeder Vektor auf V durch eine Linearkombination aus den Basisvektoren der Basis [mm] (u_{1},...,u_{k},w_{1},...,w_{m}) [/mm] schreiben lässt.
Grüße,
Stefan
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Wie einfach!
Vielen Dank für die Starthilfe (und die Hinrichtung ;))!
Stefan.
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