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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 So 11.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Zeige dass in einem geordneten Körper das Quadrat einer Zahl immer positiv ist. |
hei.
x=0 klar
x>0, x* x > 0 *x , [mm] x^2 [/mm] > 0
x<0, -x >0
x * (-x) < x * (-x)
da komme ich irgendwie nicht ganz weiter.!!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 So 11.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige dass in einem geordneten Körper das Quadrat einer
> Zahl immer positiv ist.
> hei.
>
> x=0 klar
>
> x>0, x* x > 0 *x , [mm]x^2[/mm] > 0
>
> x<0, -x >0
> x * (-x) < x * (-x)
> da komme ich irgendwie nicht ganz weiter.!!
vor allem fehlt da eine Beweisstruktur, d.h. Worte oder Symbole:
Da das Beweise "zu Studienbeginn" sind, empfehle ich, erstmal alles in Worten niederzuschreiben und danach meinetwegen nach und nach "symbolischer" zu werden.
Also fangen wir mal an:
Der Fall $x=0$ ist wegen [mm] $0^2=0*0=0 \ge [/mm] 0$ klar.
Es verbleiben also noch die Fälle, dass $x > [mm] 0\,$ [/mm] oder $x < [mm] 0\,$ [/mm] ist.
1. Fall:
Sei zunächst $x > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen des 2. Monotoniegesetzes (![[]](/images/popup.gif) Definition 3.1, O.4) folgt aus
$$0 < x$$
sofort
$$0=0*x < [mm] x*x=x^2\,.$$
[/mm]
2. Fall:
Sei nun $x < [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen des ersten Monotoniegesetzes (Definition 3.1, O.3) erhalten wir dann
$$x < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x+(-x) < 0+(-x) [mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] -x\,.$$
[/mm]
Nun multiplizieren wir die Ungleichung $x < 0$ mit $-x > 0$ auf beiden Seiten und erhalten wegen O.4 und Satz 2.4.1 sodann
$$x*(-x) < [mm] 0*(-x)=0\,,$$
[/mm]
also
$$x*(-x) < [mm] 0\,.$$
[/mm]
Wenn Du Dir nun noch überlegst, warum [mm] $x*(-x)=-x^2$ [/mm] ist, dann erhältst Du mit nochmaliger Anwendung von O.3 (1. Monotoniegesetz) sofort die Behauptung.
Tipp:
Überlege, wie Du zeigen kannst, dass [mm] $x^2+x*(-x)=0$ [/mm] ist und wende die Eindeutigkeit des additiv Inversen (folgt aus Satz 2.3.1) an.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 11.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hei ;)
Danke schonmal
> $ [mm] x\cdot{}(-x) [/mm] < [mm] 0\,. [/mm] $
> Wenn Du Dir nun noch überlegst, warum $ [mm] x\cdot{}(-x)=-x^2 [/mm] $ ist
Ich hab herumprobiert, bin aber nicht drauf gekommen welche Definition ich verwenden sollte.
$ [mm] x\cdot{}(-x) [/mm] < [mm] 0\,. [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 11.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hei ;)
> Danke schonmal
>
>
> > [mm]x\cdot{}(-x) < 0\,.[/mm]
>
>
> > Wenn Du Dir nun noch überlegst, warum [mm]x\cdot{}(-x)=-x^2[/mm]
> ist
> Ich hab herumprobiert, bin aber nicht drauf gekommen
> welche Definition ich verwenden sollte.
> [mm]x\cdot{}(-x) < 0\,.[/mm]
schau' in das verlinkte Skript:
Nach dem ersten Monotoniegesetz folgt aus $x < [mm] 0\,$ [/mm] zunächst
$$x+(-x) < [mm] 0+(-x)\,,$$
[/mm]
wobei die [mm] $0\,$ [/mm] das neutrale Körperelement bzgl. der Addition im Körper ist. Dass [mm] $x+(-x)=0\,$ [/mm] ist, sollte Dir klar sein. Dass [mm] $0+(-x)=-x\,$ [/mm] ist, auch. Also erhältst Du nun
$$0 < [mm] -x\,.$$
[/mm]
Setzt Du nun [mm] $y:=0\,$ [/mm] und [mm] $z:=-x\,,$ [/mm] so folgt wegen $z=-x > 0$ mit dem 2. Monotoniegesetz aus der Ungleichung
$$x < 0=y$$
wegen $z=-x > 0$ (s.o.) sodann
$$x*z < [mm] y*z\,,$$
[/mm]
also
$$x*(-x) < [mm] 0*(-x)\,.$$
[/mm]
Rechterhand verwende nun (wie es eigentlich auch schonmal vorher in der Antwort getan wurde - ich habe es dort ein wenig unterschlagen)
Satz 2.4.1, also die daraus resultierende Erkenntnis
$$0*(-x)=0$$
(beachte dabei auch die Kommutativität der Multiplikation: [mm] $0*(-x)=(-x)*0\,$)
[/mm]
und Du siehst nun hoffentlich ein, dass wir dann
$$x*(-x) < 0$$
für alle $x < [mm] 0\,$ [/mm] hergeleitet haben.
Nun gilt aber auch
[mm] $$x^2+x*(-x)=x*x+x*(-x)=x*(x+(-x))=x*0=0\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $x*(-x)\,$ [/mm] dass additiv Inverse zu [mm] $x^2=x*x \in K\,.$ [/mm] Dieses ist aber wegen Satz 2.3.1 eindeutig und wird auch mit [mm] $-x^2=-(x*x)$ [/mm] bezeichnet. Also ist [mm] $x*(-x)=-x^2\,.$
[/mm]
Wir wissen somit also
[mm] $$-x^2 [/mm] < [mm] 0\,.$$
[/mm]
Die Addition von [mm] $x^2$ [/mm] auf beiden Seiten der Ungleichung liefert wegen des ersten Monotoniegesetzes nun
[mm] $$-x^2+x^2 [/mm] < 0 + [mm] x^2\,.$$
[/mm]
Was folgt daraus nun (für alle $x < [mm] 0\,$)?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Danke, dass du dir die zeit genommen hast!! danke dir dafür!
Hab alles verstanden! SUPA
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