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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-5 | 12 | 13), B(1 | 4 | 23) und C(1 | 4 | 3) sowie für jedes a (a ∈ ℝ) eine Gerade ha durch die Gleichung (r ∈ ℝ) gegeben.
Die Gerade g verläuft durch [Externes Bild http://www.sn.schule.de/~matheabi/03/gif/ma03g2_html_m54e92837.gif] die Punkte A und B.
1.
Zeigen Sie, dass die Punkte A, Bund C Eckpunkte eines Dreiecks sind.
Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig ist.
Es existiert genau ein Punkt P derart, dass die Punkte A, B, C und P Eckpunkte eines Quadrats sind.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P.
2.
Alle Geraden ha liegen in einer gemeinsamen Ebene.
Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene in allgemeiner Form. |
Also erstens ist nicht so schwer mit der Abstansgleichung und dem Skalarprodukt.
Nur bei 2. habe ich ein echtes Problem. Ich kann mir 1. nicht vorstellen was dir wollen, deswegen kann ich es auch nicht richtig skizzieren. 2. verstehe ich nicht was ich machen solle bzw. was ich machen muss :(
lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/107421,0.html?sid=663a179b84028431ed9867abf5c9d09a]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
also, die erste teilaufgabe ist verstanden,
bei der zweiten ist die Grade
[mm] \vektor{-12 \\ a\\2} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
und du sollst zeigen dass alle geraden dieser Form in einer ebene Liegen:
setz einfach zwei Werte für a ein, dann hast du zwei gleichungen.
aus diesen Geradengleichungen stellst du die Ebenengleichung auf:
E: [mm] \vec{x}= [/mm] (beliebiger stützvektor (einer von den beiden) + k (richtungsvektor gerade 1)+ t (richtungsvektor der gerade 2)
d.h deine Ebene ist:
E: [mm] \vec{x}= \vektor{-12 \\ a\\2} [/mm] + k [mm] \vektor{1 \\ -2\\2} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
setze für a beliebigen wert ein!
ich nehme a=1
offensichtlich wieder eine Gerade der Form:
[mm] \vec{x}= \vektor{-12 \\ 1\\2} [/mm] + (k+t) [mm] \vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
nun musst du zeigen dass alle geraden der form
[mm] \vektor{-12 \\ a\\2} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ -2\\2} [/mm]
auf der "ebene" liegen:(für x einsetzen)
[mm] \vektor{-12 \\ a\\2} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ -2\\2}= \vektor{-12 \\ 1\\2} [/mm] + (k+t) [mm] \vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
wenn du r und (k+t)
abhängig von a so bestimmen kannst dass die gleichung wahr ist liegen alle geraden auf dieser "Ebene"....
ich hoffe ich konnte helfen, ich hab das aber schon lange nimmer gemacht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
also bei mir liegen nicht alle geraden auf dieser "ebene" die wie wir festgestellt haben gar keine ist.
hätte mich auch gewundert, aber es kann ja sein, dass ich deine Aufgabenstellung nicht verstanden hab 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Sa 13.01.2007 | | Autor: | trination |
Hm ich werde mir das dann noch mal zu Gemüte führen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Sa 13.01.2007 | | Autor: | riwe |
einfacher geht es, wenn du die geradengleichung einfach aufspaltest,
dann steht E schon da:
[mm]E: \vec{x}=\vektor{-12\\0\\2}+a\vektor{0\\1\\0}+t\vektor{1\\-2\\2}[/mm]
und jetzt kannst du z.b. mit dem vektorprodukt den (einen)normalenvektor von E bestimmen, damit hast du E in der koordinatenform, wenn du den punkt P(-12/0/2) einsetzt.
[mm]E: -2x+z=26[/mm]
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Kannst du mir evtl. genauer erklären wie du darauf komms:
http://teximg2.matheraum.de/2/4/00501342.png
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 13.01.2007 | | Autor: | CPH |
E: [mm] \vec{x}=\vektor{-12\\0\\2}+a\vektor{0\\1\\0}+t\vektor{1\\-2\\2} [/mm]
er kommt ganz einfach daruf:
du hast deine Gleichung:
[mm] \vec{x}= \vektor{-12 \\ a\\2} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ -2\\2} [/mm]
nun betrachte den Vektor
[mm] \vektor{-12 \\ a\\2} [/mm]
den nehmen wir nun auseinander:
[mm] \vektor{-12 \\ a\\2} [/mm] = [mm] \vektor{-12 \\ 0\\2} [/mm] + [mm] \vektor{0\\ a\\0} [/mm]
wen du dass nicht verstanden hast, dann addier mal die Vektoren auf der rechten Seite!
im nächsten Schritt klammert er aus dem vektor:
[mm] \vektor{0\\ a\\0} [/mm] den Faktor a aus:
[mm] \vektor{0\\ a\\0} [/mm] = [mm] a\vektor{0\\ 1\\0}
[/mm]
wenn du nun alles zusammenfügst wird dir das alles klar:
E: [mm] \vec{x}=\vektor{-12\\a\\2}+t\vektor{1\\-2\\2} [/mm] = [mm] \vektor{-12\\0\\2}+\vektor{0\\a\\0}+t\vektor{1\\-2\\2} [/mm]
[mm] =\vektor{-12\\0\\2}+a\vektor{0\\1\\0}+t\vektor{1\\-2\\2} [/mm]
Ok?
übrigens, diese antwort von riwe ist viel besser als meine, um nicht zu sagen meine ist falsch!
Tipp kopier nicht den link zu dem bild (Formeln) in deine Fragen, du kannst das bild direkt markieren und wieder einfügen, dann ist leichter zu erkennen was du meinst
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Sa 13.01.2007 | | Autor: | trination |
Danke euch beiden :)
Ich werde mich erstmal stärken und dann versuchen es nochmal nach zu vollziehen.
Tolles Forum :)
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