Gerade Ebene Schnittpkt/-wink. < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Sa 08.03.2008 | | Autor: | kutzi |
| Aufgabe | Gegeben waren eine Ebene und eine Gerade in den Formen:
g [mm] :x=\vec{r} [/mm] + [mm] \lambda \vec{a}
[/mm]
e [mm] :x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b}
[/mm]
Zu berechnen waren Schnittpunkt und Schnittwinkel. |
Brauche Hilfe mit Lösungsweg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ein klein wenig mehr könntest du schon zur Lösung deiner Aufgabe beitragen...
Nun, wie man den Schnittpunkt berechnet, solltest du wissen, dazu setzt man die beiden Formeln gleich, und berechnet zumindest das [mm] \lambda [/mm] der Gradengleichung. Durch Einsetzen in die Gradengleichung bekommst du dann den Schnittpunkt.
Um den Winkel zu berechnen, brauchst du den Normalenvektor der Ebene, also einen Vektor, der senkrecht darauf steht. DA gibts verschiedene Möglichkeiten der Berechnung.
Jedenfalls kannst du dann mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Graden berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 09.03.2008 | | Autor: | kutzi |
| Aufgabe | Gegeben waren eine Ebene und eine Gerade in den Formen:
g [mm] :x=\vec{r} [/mm] + [mm] \lambda \vec{a}
[/mm]
e [mm] :x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b}
[/mm]
Zu berechnen waren Schnittpunkt und Schnittwinkel. |
Brauche Hilfe mit Lösungsweg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie bekomme ich denn den Normalenvektor? Was mich an dieser Aufgabe stört, ist, dass keiner angegeben ist. Wie soll ich denn die gefragten Sachen ohne vorgaben herausbekommen?
Ich kenne nur Aufgaben des Typs:
Gerade: g [mm] :x:=\vec{r} [/mm] + [mm] \lambda \vec{a}
[/mm]
Ebene: e [mm] :x:=\vec{n} [/mm] ( [mm] \vec{r} [/mm] - [mm] \vec{ r_{0} } [/mm] )
Schnittpunkt: [mm] r_{S}:= r_{1} [/mm] + [mm] \bruch{\vec{n} ( \vec{r} - \vec{ r_{0} } ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a}
[/mm]
Schnittwinkel: [mm] \alpha:= [/mm] arcsin [mm] \pmat{ \bruch{|\vec{n}\vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}}
[/mm]
Aber wie Meine Aufgabe lösen? Normalerweise wurde immer ein Normalvektor vorgegeben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 So 09.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben waren eine Ebene und eine Gerade in den Formen:
> g [mm]:x=\vec{r}[/mm] + [mm]\lambda \vec{a}[/mm]
> e [mm]:x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b}[/mm]
>
> Zu berechnen waren Schnittpunkt und Schnittwinkel.
> Brauche Hilfe mit Lösungsweg.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie bekomme ich denn den Normalenvektor? Was mich an dieser
> Aufgabe stört, ist, dass keiner angegeben ist. Wie soll
> ich denn die gefragten Sachen ohne vorgaben
> herausbekommen?
>
> Ich kenne nur Aufgaben des Typs:
> Gerade: g [mm]:x:=\vec{r}[/mm] + [mm]\lambda \vec{a}[/mm]
> Ebene: e
> [mm]:x:=\vec{n}[/mm] ( [mm]\vec{r}[/mm] - [mm]\vec{ r_{0} }[/mm] )
>
>
>
> Schnittpunkt: [mm]r_{S}:= r_{1}[/mm] + [mm]\bruch{\vec{n} ( \vec{r} - \vec{ r_{0} } ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a}[/mm]
>
> Schnittwinkel: [mm]\alpha:=[/mm] arcsin [mm]\pmat{ \bruch{|\vec{n}\vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}}[/mm]
>
>
> Aber wie Meine Aufgabe lösen? Normalerweise wurde immer ein
> Normalvektor vorgegeben.
>
Hallo,
ich nehme mal an, ihr habt bereits das Kreuzprodukt zweier Vektoren kennengelernt? Das Kreuzprodukt zweier Vektoren (z.B. von den Spannvektoren einer Ebene) liefert einen dritten Vektor, der auf beiden Vektoren und damit auf der Ebene senkrecht steht.
Variante 2: Umwandeln der Ebenengleichung in die Form ax+by+cz=d. Ein Normalenvektor dieser Ebene hat die Form [mm] \vektor{a \\b\\c}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 So 09.03.2008 | | Autor: | kutzi |
Ja, dass Vektorprodukt hatten wir schon besprochen, aber wie soll ich denn aus der Ebenengleichung e $ [mm] :x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b} [/mm] $ diese Form ax+by+cz=d erstellen?
Verstehe diese Frage nicht, wie ich einen Schnittpunkt bekommen soll, wenn ich keine "Zahlen" zum einsetzten habe. Wäre nett, wenn jemand die Aufgabe mal lösen könnte, damit ich meine Fragen damit auch selber beantworten kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 09.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast eine Ebene [mm] E:\vec{x}=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b}
[/mm]
Und diese soll in eine Normalenform gebracht werden, also in die Form [mm] E:\vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
Ein Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] ist mit Hilfe des Kreuzproduktes schnell ermittelt:
[mm] \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}
[/mm]
Jetzt hast du schon mal einen Teil der Ebene. Bleibt noch das d:
Jetzt weisst du, dass der Punkt R auf E liegt (Warum?)
Also kann man jetzt folgern:
[mm] d=\vec{n}*\vec{r}
[/mm]
Somit gilt für die Ebene E:
[mm] E:\vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
also hier:
[mm] (\vec{a}\times\vec{b})*\vec{x}=(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{r}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 09.03.2008 | | Autor: | kutzi |
g $ [mm] :x=\vec{r} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vec{a} [/mm] $
e $ [mm] :x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b} [/mm] $
Für den Schnittpunkt muss ich die beiden Gleichungen
gleichsetzten: [mm] \vec{r} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vec{a} $=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b} [/mm] $
und nach [mm] \lambda [/mm] umstellen? [mm] \lambda= [/mm] ??
Für den Schnittwinkel brauche ich einen Normalenvektor. Den bekommt man durch das Vektorprodukt $ [mm] \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b} [/mm] $
Jetzt weisst du, dass der Punkt R auf E liegt (Warum?) Ja Warum?
$ [mm] d=\vec{n}\cdot{}\vec{r} [/mm] $
=> $ [mm] (\vec{a}\times\vec{b})\cdot{}\vec{x}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot{}\vec{r} [/mm] $
Und wie ist der Winkel.
Wie man es mir vielleicht anmerkt, ich habe nicht soviel Ahnung von Vektorrechnung.
Kann jemand vielleicht mal diese Aufgabe so lösen, dass alles 100% korrekt ist ? Nur so kann ich es für mich nachvollziehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 So 09.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> g [mm]:x=\vec{r}[/mm] + [mm]\lambda \vec{a}[/mm]
> e [mm]:x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b}[/mm]
>
> Für den Schnittpunkt muss ich die beiden Gleichungen
> gleichsetzten: [mm]\vec{r}[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\lambda \vec{a}[/mm] [mm]=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b}[/mm]
>
> und nach [mm]\lambda[/mm] umstellen? [mm]\lambda=[/mm] ??
Das geht, ist aber sehr umständlich. Du müsstest ein LGS mit den Variablen [mm] \lambda, \mu und\nu [/mm] lösen. Einfacher ist es, wenn du die Geradengleichung direkt in die Normalenform der Ebene Einsetzt. Dann bekommst du eine Gleichung mit einer Variable, hier [mm] \lambda, [/mm] dem Parameter der Geraden, den du darüber bestimmen kannst.
>
> Für den Schnittwinkel brauche ich einen Normalenvektor. Den
> bekommt man durch das Vektorprodukt
> [mm]\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}[/mm]
>
> Jetzt weisst du, dass der Punkt R auf E liegt (Warum?) Ja
> Warum?
Überleg doch mal: Wie nennst d denn bei deiner Ebene der Punkt R? Da sollten so Begriffe wie Aufpunkt, Stützpunkt oder ähnliches gefallen sein. Sonst mach dir mal eine Skizze der Ebene E (allgemein).
>
> [mm]d=\vec{n}\cdot{}\vec{r}[/mm]
>
> =>
> [mm](\vec{a}\times\vec{b})\cdot{}\vec{x}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot{}\vec{r}[/mm]
>
Also: [mm] E:(\underbrace{\vec{a}\times\vec{b}}_{\vec{n}})\cdot{}\vec{x}=\underbrace{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot{}\vec{r}}_{d}
[/mm]
> Und wie ist der Winkel.
Hier berechne mal den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und der Geraden, besser gesagt, dem Richtungsvektor der Geraden.
>
>
> Wie man es mir vielleicht anmerkt, ich habe nicht soviel
> Ahnung von Vektorrechnung.
> Kann jemand vielleicht mal diese Aufgabe so lösen, dass
> alles 100% korrekt ist ? Nur so kann ich es für mich
> nachvollziehen.
>
Ein bisschen Denkarbeit sollst du noch haben. Das Vorrechnen bringt dir wenig. Du sollst ja verstehen, warum das so ist.
Sonst nimm mal ein Beispiel:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+\mu\vektor{1\\0\\1}+\nu\vektor{0\\1\\1}
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+\lambda\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Und versuche jetzt mal, die Schritte daran nachzuvollziehen.
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 09.03.2008 | | Autor: | kutzi |
Also:
g $ [mm] :x=\vec{r} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vec{a} [/mm] $
e $ [mm] :x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b} [/mm] $
=> Normalenform einer Ebene: [mm] \vec{n} [/mm] ( [mm] \vec{x}-\vec{p})=0
[/mm]
Geradengleichung in Normalenform der Ebene: [mm] \vec{n} [/mm] ( [mm] \vec{r} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vec{a} -\vec{p})=0
[/mm]
=> Schnittpunkt: $ [mm] r_{S}:=\vec{r} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\vec{n} (\vec{p} - \vec{r} ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a} [/mm] $
Schnittwinkel:
Habe jetzt Ebenengleichung E: [mm] E:(\underbrace{\vec{a}\times\vec{b}}_{\vec{n}})\cdot{}\vec{x}=\underbrace{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot{}\vec{r}}_{d} [/mm] $
Kenne nur diese gleichung für den Schnittwinkel:
$ [mm] \alpha:= [/mm] $ arcsin $ [mm] \pmat{ \bruch{|\vec{n}\vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}} [/mm] $
Ist der Ablauf so korrekt?
Sonst nimm mal ein Beispiel:
$ [mm] E:\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+\mu\vektor{1\\0\\1}+\nu\vektor{0\\1\\1} [/mm] $
$ [mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+\lambda\vektor{1\\1\\1} [/mm] $
=> Normalenform einer Ebene: [mm] \vec{n} [/mm] ( [mm] \vec{r}-\vec{p})=0
[/mm]
[mm] \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}= \vektor{1\\0\\1}\times\vektor{0\\1\\1}=\vektor{-1\\-1\\0} [/mm] ... anhören, ob überhaupt richtig
=> Schnittpunkt: $ [mm] r_{S}:=\vec{r} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\vec{n} (\vec{p} - \vec{r} ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a} [/mm] $
=> Schnittpunkt: $ [mm] r_{S}:=\vec{r} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\vec{n} (\vec{p} - \vec{r} ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a} [/mm] $ Aber habe 2 verschiedene [mm] \vec{r} [/mm] ???
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Hallo kutzi,
> Also:
> g [mm]:x=\vec{r}[/mm] + [mm]\lambda \vec{a}[/mm]
> e [mm]:x=\vec{r} +\mu \vec{a} +\nu \vec{b}[/mm]
> => Normalenform einer Ebene: [mm]\vec{n}[/mm] ( [mm]\vec{x}-\vec{p})=0[/mm]
>
> Geradengleichung in Normalenform der Ebene: [mm]\vec{n}[/mm] (
> [mm]\vec{r}[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\lambda \vec{a} -\vec{p})=0[/mm]
>
> => Schnittpunkt: [mm]r_{S}:=\vec{r} [/mm] + [mm]\bruch{\vec{n} (\vec{p} - \vec{r} ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a}[/mm]
>
>
> Schnittwinkel:
>
> Habe jetzt Ebenengleichung E:
> [mm]E:(\underbrace{\vec{a}\times\vec{b}}_{\vec{n}})\cdot{}\vec{x}=\underbrace{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot{}\vec{r}}_{d}[/mm]
> $
>
> Kenne nur diese gleichung für den Schnittwinkel:
>
> [mm]\alpha:=[/mm] arcsin [mm]\pmat{ \bruch{|\vec{n}\vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}}[/mm]
>
>
> Ist der Ablauf so korrekt?
>
Ja.
>
> Sonst nimm mal ein Beispiel:
>
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+\mu\vektor{1\\0\\1}+\nu\vektor{0\\1\\1}[/mm]
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+\lambda\vektor{1\\1\\1}[/mm]
>
> => Normalenform einer Ebene: [mm]\vec{n}[/mm] ( [mm]\vec{r}-\vec{p})=0[/mm]
>
> [mm]\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}= \vektor{1\\0\\1}\times\vektor{0\\1\\1}=\vektor{-1\\-1\\0}[/mm]
> ... anhören, ob überhaupt richtig
>
>
> => Schnittpunkt: [mm]r_{S}:=\vec{r} [/mm] + [mm]\bruch{\vec{n} (\vec{p} - \vec{r} ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a}[/mm]
>
>
> => Schnittpunkt: [mm]r_{S}:=\vec{r} [/mm] + [mm]\bruch{\vec{n} (\vec{p} - \vec{r} ) }{\vec{n} \vec{a}} \vec{a}[/mm]
> Aber habe 2 verschiedene [mm]\vec{r}[/mm] ???
>
Sind dann etwa auch die Stützvektoren [mm]\overrightarrow{a}[/mm] der Geraden g
und der der Ebene E verschieden?
Muss ja sein, da sonst [mm]\overrightarrow{n} \* \overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right) \* \overrightarrow{a} = 0[/mm] ist,
d.h. die Gerade liegt dann in der Ebene oder ist parallel zu ihr.
Demnach also ganz korrekt die Gerade und Ebene:
[mm]g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{r_{1}}[/mm] + [mm]\lambda \overrightarrow{a_{1}}[/mm]
[mm]E:\overrightarrow{x}= \overrrightarrow{r_{2}} +\mu \overrightarrow{a_{2}} +\nu \overrightarrow{b}[/mm]
Die Berechnung des Schnittpunktes ist dieselbe.
Gruß
MathePower
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