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| Aufgabe | Sei Ü [mm] \subset [/mm] P(E) eine Teilmenge der Potenzmenge von E = [mm] \mathbb{R^2}. [/mm] Elemente L [mm] \in [/mm] Ü heißen Geraden. Folgende Aussagen sind gegeben:
(i) Für P1 [mm] \neq [/mm] P2 [mm] \in [/mm] E$ gibt es genau eine Gerade L mit P1, P2 [mm] \in [/mm] L.
(ii) Für L1, L2 [mm] \in [/mm] Ü mit L1 [mm] \neq [/mm] L2 gilt: |L1 [mm] \cap [/mm] L2| [mm] \leq [/mm] 1
Folgt aus Aussage (ii) die Aussage (i)? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Habe zu obiger Aufgabe einen Ansatz, glaube aber, dass dieser falsch ist. Wäre nett wenn jemand mir sagen könnte ob ich auf dem Holzweg bin.
Ich wollte beweisen, dass es gilt und habe zunächst mal die Aussage (i) umgeformt zu:
(i) P1, P2 [mm] \in [/mm] L1 [mm] \cap [/mm] L2 [mm] \Rightarrow [/mm] L1=L2
Und dann mit der Kontraposition erneut umgeformt:
(i) L1 [mm] \neq [/mm] L2 [mm] \Rightarrow [/mm] P1,P2 [mm] \notin [/mm] L1 [mm] \cap [/mm] L2
Und diese Aussage ist ja jetzt wahr wenn ich Annehme, dass (ii) gilt, denn.
(ii) L1 [mm] \neq [/mm] L2 [mm] \Rightarrow [/mm] |L1 [mm] \cap [/mm] L2| [mm] \leq [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] P1,P2 [mm] \notin [/mm] L1 [mm] \cap [/mm] L2
Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass dieser Beweis stimmt, denn ich kann jede Gerade so bilden (weil Ü [mm] \subset [/mm] P(E)) dass zwei beliebige Punkte darin liegen und ich kann mir auch eine andere Gerade so wählen, dass genau diese zwei Punkte und vielleicht noch ein Dritter darauf liegt. Dann gäbe es also mehrere Geraden.
Hoffe mir kann jemand erklären warum mein Beweis falsch ist oder ihn bestätigen. Es würde mir auch schon sehr helfen wenn jemand mir sagen könnte ob (i) überhaupt aus (ii) folgen kann, oder ob gilt, dass (ii) aus (i) folgt.
Gruß Trollgut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Trollgut,
> Sei Ü [mm]\subset[/mm] P(E) eine Teilmenge der Potenzmenge von E =
> [mm]\mathbb{R^2}.[/mm] Elemente L [mm]\in[/mm] Ü heißen Geraden. Folgende
> Aussagen sind gegeben:
>
> (i) Für P1 [mm]\neq[/mm] P2 [mm]\in[/mm] E$ gibt es genau eine Gerade L mit
> P1, P2 [mm]\in[/mm] L.
> (ii) Für L1, L2 [mm]\in[/mm] Ü mit L1 [mm]\neq[/mm] L2 gilt: |L1 [mm]\cap[/mm] L2|
> [mm]\leq[/mm] 1
>
> Folgt aus Aussage (ii) die Aussage (i)?
>
>
> Habe zu obiger Aufgabe einen Ansatz, glaube aber, dass
> dieser falsch ist. Wäre nett wenn jemand mir sagen könnte
> ob ich auf dem Holzweg bin.
>
> Ich wollte beweisen, dass es gilt und habe zunächst mal
> die Aussage (i) umgeformt zu:
> (i) P1, P2 [mm]\in[/mm] L1 [mm]\cap[/mm] L2 [mm]\Rightarrow[/mm] L1=L2
> Und dann mit der Kontraposition erneut umgeformt:
> (i) L1 [mm]\neq[/mm] L2 [mm]\Rightarrow[/mm] P1,P2 [mm]\notin[/mm] L1 [mm]\cap[/mm] L2
> Und diese Aussage ist ja jetzt wahr wenn ich Annehme, dass
> (ii) gilt, denn.
> (ii) L1 [mm]\neq[/mm] L2 [mm]\Rightarrow[/mm] |L1 [mm]\cap[/mm] L2| [mm]\leq[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] P1,P2 [mm]\notin[/mm] L1 [mm]\cap[/mm] L2
> Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass dieser Beweis
> stimmt
Ja, er stimmt nicht. Du willst doch (ii) aus (i) folgern. Du nimmst aber (ii) an und sagst, Deine Folgerung aus (i), also die Kontraposition, sei wahr. Dies überzeugt aber keinen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Trollgut |
Nein, anders herum. Ich möchte (i) aus (ii) folgern.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Nein, anders herum. Ich möchte (i) aus (ii) folgern.
Ja, dann stimmt Dein Beweis. Aber die Aufgabe fragt ja, ob (ii) aus (i) folgt.
Nicht, daß Du auch was anderes zeigen darfst, ich mein ja nur.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Trollgut |
"Folgt aus Aussage (ii) die Aussage (i)? " Oder hab ich jetzt was übersehn? ^^
Also, wenn der Bewei stimmt kannst du mir dann bitte erklären warum, das was ich beschrieben habe kein Widerspruch ist:
"Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass dieser Beweis stimmt, denn ich kann jede Gerade so bilden (weil Ü $ [mm] \subset [/mm] $ P(E)) dass zwei beliebige Punkte darin liegen und ich kann mir auch eine andere Gerade so wählen, dass genau diese zwei Punkte und vielleicht noch ein Dritter darauf liegt. Dann gäbe es also mehrere Geraden."
Also z.B. L1={P1,P2}; L2={P1,P2,P3}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> "Folgt aus Aussage (ii) die Aussage (i)? " Oder hab ich
> jetzt was übersehn? ^^
Ne, war wohl mein Fehler. Aber es ist für uns leichter, wenn Du ausdrücklich die Frage bejaht hättest.
> Also, wenn der Bewei stimmt kannst du mir dann bitte
> erklären warum, das was ich beschrieben habe kein
> Widerspruch ist:
>
> "Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass dieser Beweis
> stimmt, denn ich kann jede Gerade so bilden (weil Ü
> [mm]\subset[/mm] P(E)) dass zwei beliebige Punkte darin liegen und
> ich kann mir auch eine andere Gerade so wählen, dass genau
> diese zwei Punkte und vielleicht noch ein Dritter darauf
> liegt. Dann gäbe es also mehrere Geraden."
> Also z.B. L1={P1,P2}; L2={P1,P2,P3}
Aber dies wiederspricht doch (ii), oder? Der Schnitt der Geraden enthält dann mehr als einen Punkt und nach (ii) darf er höchstens einen Punkt enthalten.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Trollgut |
Stimmt, ok. Ich werd mich beim nächsten mal klarer ausdrücken. Den Widerspruch sehe ich jetzt auch. Mein Problem ist jetzt nur:
Die Aufgabe untergliedert sich in zwei Teilaufgaben a) und b):
a) gilt (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) ?
b) gilt (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i) ? Das war die Frage die ich gestellt hatte.
Unter der Aufgabe steht der Hinweis: Sollte eine Aussage nicht folgen, so benötigt man ein Gegenbeispiel. Sollte eine Aussage folgen, so benötigt man einen Beweis.
_________
Ich hab jetzt allerdings bei a) und bei b) bewießen, dass es stimmt. Ich glaube einfach nicht, dass der Hinweis mit dem Gegenbeispiel dastehen würde wenn beide Aussagen wahr wären ^^.
Mein Beweis zu a):
(i) umgeformt mit Kontraposition: L1 [mm] \neq [/mm] L2 [mm] \Rightarrow [/mm] P1, P2 [mm] \notin [/mm] L1 [mm] \cap [/mm] L2
und damit kann ich dann auch wieder folgern, dass (ii) gilt.
Ist denn dieser Beweis auch richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Stimmt, ok. Ich werd mich beim nächsten mal klarer
> ausdrücken. Den Widerspruch sehe ich jetzt auch. Mein
> Problem ist jetzt nur:
>
> Die Aufgabe untergliedert sich in zwei Teilaufgaben a) und
> b):
> a) gilt (i) [mm]\Rightarrow[/mm] (ii) ?
> b) gilt (ii) [mm]\Rightarrow[/mm] (i) ? Das war die Frage die ich
> gestellt hatte.
>
> Unter der Aufgabe steht der Hinweis: Sollte eine Aussage
> nicht folgen, so benötigt man ein Gegenbeispiel. Sollte
> eine Aussage folgen, so benötigt man einen Beweis.
> _________
>
> Ich hab jetzt allerdings bei a) und bei b) bewießen, dass
> es stimmt. Ich glaube einfach nicht, dass der Hinweis mit
> dem Gegenbeispiel dastehen würde wenn beide Aussagen wahr
> wären ^^.
>
> Mein Beweis zu a):
>
> (i) umgeformt mit Kontraposition: L1 [mm]\neq[/mm] L2 [mm]\Rightarrow[/mm]
> P1, P2 [mm]\notin[/mm] L1 [mm]\cap[/mm] L2
>
> und damit kann ich dann auch wieder folgern, dass (ii)
> gilt.
>
> Ist denn dieser Beweis auch richtig?
Ja! Was läßt Dich zweifeln? Außer des Hinweises mit dem Gegenbeispiel, der bei dieser Aufgabe nicht greift.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Trollgut |
Schwierig zu sagen. Am Freitag eine Übungsgruppe zusammen mit Drittsemestern gehabt, die uns Erstis ein wenig helfen sollten. Da hat ein Student eben vorgeschlagen ein Gegenbeispiel zu suchen. Ich hatte es nur so im Gefühl, dass es dann auch tatsächlich eines geben würde. Das Beispiel mit L1={P1,P2}; L={P1,P3} zu b) stammt von diesem Studenten.
Aber auf jeden Fall vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast. Ist alles noch recht neu und es ist ein gutes Gefühl, dass es Leute gibt die einem im Notfall auch mal helfen können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Schwierig zu sagen. Am Freitag eine Übungsgruppe zusammen
> mit Drittsemestern gehabt, die uns Erstis ein wenig helfen
> sollten. Da hat ein Student eben vorgeschlagen ein
> Gegenbeispiel zu suchen. Ich hatte es nur so im Gefühl,
> dass es dann auch tatsächlich eines geben würde. Das
> Beispiel mit L1={P1,P2}; L={P1,P3} zu b) stammt von diesem
> Studenten.
Ah, jetzt sehe ich! Dieses Beispiel erfüllt (ii), aber es erfüllt nicht (i)! Dann ist Dein Beweis "aus (ii) folgt (i)" doch falsch!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Trollgut |
> Ah, jetzt sehe ich! Dieses Beispiel erfüllt (ii), aber es
> erfüllt nicht (i)! Dann ist Dein Beweis "aus (ii) folgt
> (i)" doch falsch!
>
> Gruß,
> Wolfgang
Dass es (ii) erfüllt habe ich gesehen. Nur warum erfüllt es nicht (i)? Kannst du das bitte erklären. ich habe lange da gesessen und überlegt warum das Beispiel ein Widerspruch zu (i) ist.
Was mir dann natürlich wiederum nicht klar ist, ist warum ein Beweis falsch sein kann wenn er doch rein logisch passt. welche Folgerung im Beweis ist falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Ah, jetzt sehe ich! Dieses Beispiel erfüllt (ii), aber es
> > erfüllt nicht (i)! Dann ist Dein Beweis "aus (ii) folgt
> > (i)" doch falsch!
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
> Dass es (ii) erfüllt habe ich gesehen. Nur warum erfüllt
> es nicht (i)? Kannst du das bitte erklären. ich habe lange
> da gesessen und überlegt warum das Beispiel ein
> Widerspruch zu (i) ist.
Ja. Wir beide haben das "genau" in (i): "Durch je zwei Punkte geht genau eine Gerade" übersehen. Wir haben (i) gelesen als: "Durch je zwei Punkte geht höchstens eine Gerade"
und diese Aussage hast Du als Kontraposition umformuliert. Das war der Fehler.
Im Beispiel geht nämlich durch P1 und P3 überhaupt keine Gerade.
>
> Was mir dann natürlich wiederum nicht klar ist, ist warum
> ein Beweis falsch sein kann wenn er doch rein logisch
> passt. welche Folgerung im Beweis ist falsch?
Na ja, er paßt eben nicht "rein logisch".
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Trollgut |
> > > Ah, jetzt sehe ich! Dieses Beispiel erfüllt (ii), aber es
> > > erfüllt nicht (i)! Dann ist Dein Beweis "aus (ii) folgt
> > > (i)" doch falsch!
> > >
> > > Gruß,
> > > Wolfgang
> >
> > Dass es (ii) erfüllt habe ich gesehen. Nur warum erfüllt
> > es nicht (i)? Kannst du das bitte erklären. ich habe lange
> > da gesessen und überlegt warum das Beispiel ein
> > Widerspruch zu (i) ist.
>
> Ja. Wir beide haben das "genau" in (i): "Durch je zwei
> Punkte geht genau eine Gerade" übersehen. Wir haben (i)
> gelesen als: "Durch je zwei Punkte geht höchstens eine
> Gerade"
> und diese Aussage hast Du als Kontraposition umformuliert.
> Das war der Fehler.
>
> Im Beispiel geht nämlich durch P1 und P3 überhaupt keine
> Gerade.
> >
> > Was mir dann natürlich wiederum nicht klar ist, ist warum
> > ein Beweis falsch sein kann wenn er doch rein logisch
> > passt. welche Folgerung im Beweis ist falsch?
>
> Na ja, er paßt eben nicht "rein logisch".
>
> Gruß,
> Wolfgang
Ah, ich verstehe. Beim Beweis von b) habe ich aber nur die Kontraposition von (ii) gebildet nicht von (i).
Die Aussage (i) kann ich also nicht umschreiben zu: P1, P2 [mm] \in [/mm] L1 [mm] \cap [/mm] L2 [mm] \Rightarrow [/mm] L1= L1 ?
Dann ist doch aber der Beweis von a) auch falsch oder?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > > Ah, jetzt sehe ich! Dieses Beispiel erfüllt (ii), aber es
> > > > erfüllt nicht (i)! Dann ist Dein Beweis "aus (ii) folgt
> > > > (i)" doch falsch!
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Wolfgang
> > >
> > > Dass es (ii) erfüllt habe ich gesehen. Nur warum erfüllt
> > > es nicht (i)? Kannst du das bitte erklären. ich habe lange
> > > da gesessen und überlegt warum das Beispiel ein
> > > Widerspruch zu (i) ist.
> >
> > Ja. Wir beide haben das "genau" in (i): "Durch je zwei
> > Punkte geht genau eine Gerade" übersehen. Wir haben (i)
> > gelesen als: "Durch je zwei Punkte geht höchstens eine
> > Gerade"
> > und diese Aussage hast Du als Kontraposition
> umformuliert.
> > Das war der Fehler.
> >
> > Im Beispiel geht nämlich durch P1 und P3 überhaupt keine
> > Gerade.
> > >
> > > Was mir dann natürlich wiederum nicht klar ist, ist warum
> > > ein Beweis falsch sein kann wenn er doch rein logisch
> > > passt. welche Folgerung im Beweis ist falsch?
> >
> > Na ja, er paßt eben nicht "rein logisch".
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
> Ah, ich verstehe. Beim Beweis von b) habe ich aber nur die
> Kontraposition von (ii) gebildet nicht von (i).
>
> Die Aussage (i) kann ich also nicht umschreiben zu: P1, P2
> [mm]\in[/mm] L1 [mm]\cap[/mm] L2 [mm]\Rightarrow[/mm] L1= L1 ?
(i) enthält zwei Aussagen:
- Zu P1, P2, P1 [mm] $\ne$ [/mm] P2 gibt es höchstens eine Gerade L mit P1, P2 [mm] $\in$ [/mm] L und
- Zu P1, P2 gibt es mindestens eine Gerade L mit P1, P2 [mm] $\in$ [/mm] L.
Deine Kontraposition ist gleichwertig mit der ersten Aussage und folgt damit aus (i). Aus dieser Kontraposition folgt wiederum (ii) und dies rettet Deinen Beweis.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Trollgut |
Puh. Das musste ich erst einmal eine Weile auf mich wirken lassen. Aber es macht Sinn. Vielen Dank  .
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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