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Forum "Geraden und Ebenen" - Gerade & Richtungswinkel
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Gerade & Richtungswinkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Di 24.10.2017
Autor: Valkyrion

Aufgabe
Eine Gerade g geht durch P=(5, 3, 1). Außerdem verläuft sie parallel zum Vektor a mit den Richtungswinkel [mm] \alpha [/mm] = 30°, [mm] \beta [/mm] =90°, [mm] cos(\gamma) [/mm] < 0.
Wie lautet die Geradengleichung?

wegen cos(90°) =0 [mm] \Rightarrow a_{y}=0; [/mm]

wegen [mm] cos^{2}(30°) [/mm] + 0 + [mm] cos^{2}(\gamma) [/mm] = 1 ergibt sich: [mm] cos(\gamma) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] bzw. [mm] \gamma \approx [/mm] 104°!?

[mm] a_{x} [/mm] = |a|*cos(30°);
[mm] a_{z} [/mm] = |a|*cos(104°);

Jetzt habe ich zwei Gleichungen aber drei Unbekannte. Was habe ich noch nicht berücksichtigt oder wie komme ich auf |a|?

        
Bezug
Gerade & Richtungswinkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Di 24.10.2017
Autor: fred97


> Eine Gerade g geht durch P=(5, 3, 1). Außerdem verläuft
> sie parallel zum Vektor a mit den Richtungswinkel [mm]\alpha[/mm] =
> 30°, [mm]\beta[/mm] =90°, [mm]cos(\gamma)[/mm] < 0.
>  Wie lautet die Geradengleichung?
>  wegen cos(90°) =0 [mm]\Rightarrow a_{y}=0;[/mm]
>  
> wegen [mm]cos^{2}(30°)[/mm] + 0 + [mm]cos^{2}(\gamma)[/mm] = 1 ergibt sich:
> [mm]cos(\gamma)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] bzw. [mm]\gamma \approx[/mm] 104°!?
>  
> [mm]a_{x}[/mm] = |a|*cos(30°);
>  [mm]a_{z}[/mm] = |a|*cos(104°);
>  
> Jetzt habe ich zwei Gleichungen aber drei Unbekannte. Was
> habe ich noch nicht berücksichtigt oder wie komme ich auf
> |a|?


Da a der Richtungsvektor der Geraden ist, ist seine Länge |a| völlig egal (Hauptsache |a| [mm] \ne [/mm] 0), also kannst Du |a|=1 wählen.

Bezug
                
Bezug
Gerade & Richtungswinkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:14 Mi 25.10.2017
Autor: Valkyrion

OK, wenn |a| = 1, erhalte ich für [mm] a_{z} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]
für [mm] a_{x} [/mm] erhalte ich dann aber cos(30°) = 0,866

Laut Lösung soll [mm] a_{x} [/mm] aber [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}} [/mm] sein!

Bezug
                        
Bezug
Gerade & Richtungswinkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Mi 25.10.2017
Autor: angela.h.b.


> OK, wenn |a| = 1, erhalte ich für [mm]a_{z}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>  für [mm]a_{x}[/mm] erhalte ich dann aber cos(30°) = 0,866
>  
> Laut Lösung soll [mm]a_{x}[/mm] aber [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}}[/mm] sein!

Hallo,

das ist sicher ein Druckfehler und soll eigentlich [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] heißen.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Gerade & Richtungswinkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:35 Mi 25.10.2017
Autor: Valkyrion

wegen  [mm] cos^{2}(30°) [/mm]  + 0 + [mm] cos^{2}(\gamma) [/mm] = 1

müsste sich doch eigentlich [mm] cos(\gamma) [/mm] = + [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
Wieso ist das hier - [mm] \bruch{1}{2}? [/mm]
Nur wegen der Aufgabenstellung?

Bezug
                        
Bezug
Gerade & Richtungswinkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Mi 25.10.2017
Autor: chrisno


> wegen  [mm]cos^{2}(30°)[/mm]  + 0 + [mm]cos^{2}(\gamma)[/mm] = 1
>  
> müsste sich doch eigentlich [mm]cos(\gamma)[/mm] = + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  Wieso ist das hier - [mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
> Nur wegen der Aufgabenstellung?

Die erste Antwort lautet: ja

Die genauere Antwort lautet:
solange Du nicht mehr als die Gleichung da stehen hast, weißt Du nie, ob das, was quadriert wird, positiv oder negativ ist, da diese Information beim Quadrieren verloren geht. Also musst Du immer daran denken, dass auch - ... eine Lösung ist.

Bezug
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