Gerade drehen und Schnittpunkt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte folgendes realisieren.
Ich habe einen 2D Raum.
Darin befindet sich ein Kreis.
Nun habe ich noch eine Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises.
Jetzt möchte ich die Schnittpunkte berechnen.
Dann möchte ich die Gerade um einen Winkel drehen und wiederum die Schnittpunkte berechnen.
Welche Ansatz würdet ihr vorschlagen ?
Vektorrechnung ?
Meine Mathematikkenntnisse sind schon einige Zeit auf Eis gelegt.
Ich habe die Schnittpunkte mit Gleichsetzen der Gleichung gemacht und die Drehung mit Umrechnung des Winkels.
Aber irgendwie ist das nicht so effizient.
(m = 0 oder es gibt gar kein m)
Bsp. Kreis um P(180;120)
r = 100
Gerade g: y = 120
Und jetzt eben g um 120° drehen (Richtung irrelevant) und wiederum Schnittpunkt berechnen.
danke für jegliche Tipps.
mfg
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Hallo Martin!
Wahrscheinlich hast du dich schon mit der sog. Kreisgleichung beschäftigt:
[mm] $(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$
[/mm]
Alle Paare $(x,y)$, die diese Gleichung erfüllen, beschreiben einen Kreis um [mm] $m=(m_1,m_2)$ [/mm] mit Radius $r$.
Die Schnittpunkte mit einer Graden durch den Mittelpunkt kannst du durch "einsetzen" berechnen...
Bei deinem Beispiel (ich hab mal eine Null weggelassen, sonst werden die Zahlen so groß): $m=(18,12)$, $r=10$, Gerade $y=12$
[mm] $(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$ \gdw
[/mm]
[mm] $(x-18)^2+(y-12)^2=10^2$ \gdw
[/mm]
[mm] $(x-18)^2+(12-12)^2=10^2$ \gdw
[/mm]
[mm] $(x-18)^2=10^2$ \gdw $x^2-36x+224=0$ \Rightarrow $x=8\vee [/mm] x=28$
Diese x-Werte in die Geradengleichung eingesetzt liefern die Schnittpunkte [mm] S_1=(8,12) [/mm] und [mm] S_2=(28,12)
[/mm]
Wenn du die Gerade jetzt um 120° drehst (sagen wir mal im Uhrzeigersinn), ergibt sich:
[mm] y=\sqrt3*x+12-18\sqrt3
[/mm]
Die Steigung ist [mm] \sqrt3 [/mm] weil der Neigungswinkel (=Winkel zwischen Gerade und x-Achse) 60° ist und die Steigung dann [mm] \tan{60°}=\sqrt3 [/mm] ist. Den Achsenabschnitt bekommst du durch Einsetzen des Kreismittelpunktes.
So, jetzt wieder in die Kreisgleichung einsetzen:
[mm] $(x-18)^2+(y-12)^2=10^2$ \gdw
[/mm]
[mm] $(x-18)^2+(\sqrt3*x+12-18\sqrt3-12)^2=10^2$ \gdw
[/mm]
[mm] $(x-18)^2+(\sqrt3*x-18\sqrt3)^2=10^2$ \gdw
[/mm]
[mm] $x^2-36x+324+3x^2-108x+972=100$ \gdw
[/mm]
[mm] $4x^2-144x+1196=0$ \gdw
[/mm]
[mm] $x=\frac{144\pm\sqrt{1600}}{8}=18\pm [/mm] 5$ [mm] \Rightarrow $x=13\vee [/mm] x=23$ Also [mm] S_1=(13,12-5\sqrt3) [/mm] und [mm] S_2=(23,12+5\sqrt3)
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
ja das hilft mir schon.
So in etwa habe ich es auch bisher gemacht.
Nur der Punkt .. ich drehe um 120° dann ist der Neigungswinkel 60° verstehe ich nicht ganz.
Woher weiß ich das ?
Könntest du mir kurz nochmal die Gleichung erklären ?
$ [mm] y=\sqrt3\cdot{}x+12-18\sqrt3 [/mm] $
Umrechnung Bogenmaß habe ich schon verstanden.
vielen Dank !!!!
Martin
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Wenn man 2 Vektoren hat, kann man deren Winkel berechnen, indem man einerseits deren Skalarprodukt ausrechnet und andererseits das Produkt ihrer Längen.
Der Quotient aus beiden Produkten ist dann der Kosinus des Winkels, den die beiden Vektoren miteinander bilden.
In diesem Fall sind bekannt: M , [mm]\vec a[/mm] und [mm] \alpha
[/mm]
Gesucht sind: [mm]\vec b[/mm] und B
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann ergibt sich:
1.) [mm] \vec a *\vec b =cos\alpha*\left| \vec a \right|*\left| \vec b \right| [/mm]
2.) [mm] \left| \vec a \right|=\left| \vec b \right| [/mm]
Aus diesen 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (x-Wert von b und y-Wert von b) müssen sich dann die Werte für [mm]\vec b[/mm] ergeben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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