Gerade im Raum (geradenglch.) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Melanie!
> aufgabe:
> flugzeug 1 : fliegt von A (5/3/4) in richtung 3/6/9
> (spaltenvektor)
>
> flugzeug 2: fliegt auf einer geraden durch C (60/38/14) und
> D (18/14/12)
>
> könnten F1 und f2 theoretisch kollidieren?
> wenn ja, in welchem punkt?
>
> mein lehrer meinte, dass man zuerst den schnittpunkt
> ausrechnen soll...
Ja, genau. Jetzt weiß ich aber leider nicht, wo dein Problem liegt. Verstehst du nicht, warum du den Schnittpunkt berechnen sollst oder weißt du nicht, wie du ihn berechnen sollst?
Also, du stellst einfach für jedes Flugzeug eine Geradengleichung auf - schaffst du das? Dann setzt du die beiden Gleichungen gleich und versuchst das Gleichungssystem zu lösen. Wenn es eine Lösung gibt, dann könnte die Flugzeuge kollidieren und du kannst auch direkt den "Schnittpunkt" berechnen. Wenn es keine Lösung gibt, du also irgendwo einen Widerspruch stehen hast, dann könnten die Flugzeuge nicht kollidieren und es gibt auch keinen Schnittpunkt.
Versuchst du das mal? Kannst dich dann gerne mit deinen Rechnungen oder Fragen wieder melden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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du hälst mich jetzt bestimmt für nicht grad schlau auf diesem gebiet, aber ich habe wirklich keine ahnung wie ich die gleichungen aufstellen soll :-(
kann das sein ,das (3,6,9) der richtungsvektor ist?
muss ich das dann irgendwo in dieser gleichung einsetzen?
vektor g= vektor p + r x vektor u
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Hallo Melanie!
> kann das sein ,das (3,6,9) der richtungsvektor ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau! Dann sollte diese Geradengleichung für Flugzeug 1 doch nun schnell hingeschrieben sein, oder?
Beim anderen Flugzeug musst Du dir aus den beiden Punkten $C_$ und $D_$ erst den entsprechenden Richtungsvektor [mm] $\overrightarrow{CD}$ [/mm] bestimmen.
Diese beiden Geradengleichungen dann gleichsetzen und weiter wie in Bastiane's Antwort!
Gruß vom
Roadrunner
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hmm....
also müsste ich es dann so einsetzen..?
F1 : vektor g = vektor (5,3,4) + r x (3,6,9) ?
was bzw wie muss ich denn die werte bei F2 einsetzen?
sorry,aber ich habe absolut kein plan :(
bin eine echte niete in mathe :)
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Deine erste Gleichung lautet folgendermaßen:
f1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] µ*(\vec{b})
[/mm]
Dabei ist [mm] \vec{x} [/mm] noch nicht durch Werte bestimmt, [mm] \vec{a} [/mm] ist der Ortsvektor zu deinem Punkt A und b der angegebene Richtungsvektor.
Bei deiner zweiten Gleichung musst du ein wenig anders vorgehen, da du keinen Richtungsvektor gegeben hast. Du musst dir diesen erst selbst "basteln":
f2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] + [mm] v*(\vec{d-c})
[/mm]
Wobei [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{d} [/mm] hier wiederum Ortsvektoren zu deinen Punkten sind.
Noch Fragen? Dann frag einfach nach. 
Gruß
Jasmin
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wenn ich die werte nu in f1 einsetze habe ich aber 2 unbekannte, oder? (x und [mm] \mu) [/mm] wie soll ich denn da nun mit weiterrechnen? oder habe ich da jetzt etwas völlig falsch verstanden?
und bei f2 habe ich doch jetzt auch noch 2 unbekannte ( x und [mm] \nu)
[/mm]
ich versteh das irgendwie nicht so ganz :-(
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Hallo Melanie19,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> wenn ich die werte nu in f1 einsetze habe ich aber 2
> unbekannte, oder? (x und [mm]\mu)[/mm] wie soll ich denn da nun
> mit weiterrechnen? oder habe ich da jetzt etwas völlig
> falsch verstanden?
>
> und bei f2 habe ich doch jetzt auch noch 2 unbekannte ( x
> und [mm]\nu)[/mm]
>
> ich versteh das irgendwie nicht so ganz :-(
Damit sich die Flugzeuge f1 und f2 treffen können, muß der x-Wert derselbe sein. Insofern hast Du nur 2 Unbekannte [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm].
Da sich das ganze im Raum abspielt, hast Du nun 3 Gleichungen und 2 Unbekannte, also ein überbestimmtes Gleichungssystem.
Hier nimmst Du 2 Gleichungen her, bestimmst die Lösungsmenge und setzt sie in die übriggebliebene Gleichung ein.
Wird die 3. Gleichung auch erfüllt, so treffen sich f1 und f2, sonst nicht.
Gruß
MathePower
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danke für die vielen erklärungsversuche ,aber irgendwie verstehe ich jetzt gar nichts mehr...ich glaub ich bin einfach zu doof für sowas ..:-(
wäre jemand von euch so nett und könnte mir mal den lösungsweg aufschreiben? vielleicht kann ich es dann etwas besser nachvollziehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Do 22.09.2005 | | Autor: | Hexe |
also zunächst mal ist is zu doof was was ich grundsätzlich net akzeptiere  ich sag das nämlich auch immer wenns mir zu anstrengend wird :) Also mal den Anfang langsam zum Mitmeiseln
Geg: A(5/3/4) [mm] \vec{r}=(3/6/9) [/mm] C(60/38/14) D(18/14/12)
Daraus bildet man [mm] g_1=\vektor{5\\3\\4}+\lambda*\vektor{3\\6\\9\\} [/mm] und [mm] g_2=\vektor{18\\14\\12}+\mu*\vektor{60-18\\38-14\\14-12}
[/mm]
So damit die kollidieren können muss es einen Punkt [mm] X(x_1/x_2/x_3) [/mm] geben der in beide Gleichungen passt. Um den zu finden setzt ich [mm] g_1=g_2 [/mm] also
[mm] \vektor{5\\3\\4}+\lambda*\vektor{3\\6\\9\\}=\vektor{18\\14\\12}+\mu*\vektor{60-18\\38-14\\14-12}
[/mm]
Um das zu lösen spaltet man es in die drei einzelgleichungen auf und löst es wie ein lin. Gleichungssystem also
I [mm] 5+\lambda*3=18+\mu*42
[/mm]
II [mm] 3+\lambda*6=14+\mu*24
[/mm]
III [mm] 4+\lambda*9=12+\mu*2
[/mm]
Wenns eine Lösung gibt dann setzt man das so gewonnene [mm] \lambda [/mm] in [mm] g_1 [/mm] ein und erhält den zugehörigen Punkt X (zur Überprüfung kann man auch das gefundene [mm] \mu [/mm] in [mm] g_2 [/mm] einsetzen muss denselben Punkt ergeben)
wenn man beim lösen auf einen Widerspruch stößt dann gibt es kein x und die Piloten haben Glück gehabt :)
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:46 Do 22.09.2005 | | Autor: | Melanie19 |
ahhh....das kann ich jetzt so allmählich nachvollziehen, aber wie es dann weitergehen soll,hmmm..,dass hab ich noch nicht ganz kappiert :(
ich weiß net ,wie ich die gleichungen lösen muss....
das ist schon soooooo lange her, als ich das das letzte mal rechnen musste :)
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Hallo!
> ahhh....das kann ich jetzt so allmählich nachvollziehen,
> aber wie es dann weitergehen soll,hmmm..,dass hab ich noch
> nicht ganz kappiert :(
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> ich weiß net ,wie ich die gleichungen lösen muss....
> das ist schon soooooo lange her, als ich das das letzte
> mal rechnen musste :)
Hast du schon mal den "Zitier-Button" gesehen? Dann könnte ich dir deine Frage nämlich direkt viel besser beantworten. So aber nur ein Tipp: Löse doch mal eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setze das dann in die nächste Gleichung ein. Diese löst du dann wiederum nach einer Variablen auf und setzt alles in die dritte Gleichung ein. Dann hast du nur noch eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten, die du bestimmt lösen kannst.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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