Gerade mit minimalen Abstand < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich hab hier als Aufgabe, dass in der Ebene n Punkte [mm] P_1,... ,P_n [/mm] gegeben sind.
Nun soll ich die Gerade g bestimmen, für die die Summe der Quadrate der Abstände der Punkte von der Gerade minimal wird, sprich:
[mm] \summe_{i=1}^{n} |P_ig|^2 [/mm] minimal wird !
In unserem Tutorim hat dann noch jemand gesagt, dass hierbei der Abstand eines Punktes von der Geraden durch die Länge des
Lotes vom Punkt auf die Gerade bestimmt ist.
Die Schreibweise irritiert mich erstmal ! Und in welchem [mm] \IR^n [/mm] sind wir ? Ich mein, es gibt auch Hypebenen, daher ist also n=3 nicht unbedingt notwendig, oder ?
Ich kenn das so:
wenn [mm] L=v+\IR*w [/mm] Gerade ist, dann ist der Abstand zwischen dem Punkt [mm] P_1 [/mm] und der Gerade bestimmt durch: [mm] d(P_1,L):=min\{||x-P_1||:x \in L\}
[/mm]
Also müßte für mich
[mm] \summe_{i=1}^{n} (min\{||x-P_i||:x \in L\})^2 \to [/mm] min gelten !
Nun ist ja x ein Punkt auf der Geraden: Also gilt: d(x,y)= [mm] \wurzel{(x_1-P_{i1})^2+...+(x_n-P_{in})^2}
[/mm]
und es gilt doch min(d(x,y)) wird dann erreicht, wenn
[mm] x_1-P_{i1}=x_2-P_{i2}=....=x_n-P_{in} [/mm] gilt, sprich [mm] min(d(x,P_{i1}))=\wurzel{n*(x_1-P_{i1})^2}
[/mm]
(GLAUB ICH)
Also muss mit [mm] x\in \IR^n
[/mm]
f(x)=n* [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_1-P_{i1})^2 \to [/mm] min gelten !
Mein Problem ist, erstmal die Funktion zu kennen, die ich dann ableiten muss ! Wenn ich die kennen würde, würde mich das schon gehörig weiterbringen, weil so wäre:
[mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x_1}=2*n*\summe_{i=1}^{n} (x_1-P_{i1})=2*n*(n*x_1-\summe_{i=1}^{n} P_{i1})
[/mm]
Also für ein Extremum müßte
[mm] n*x_1-\summe_{i=1}^{n} P_{i1}=0
[/mm]
[mm] x_1=\summe_{i=1}^{n} \bruch{P_{i1} }{n}
[/mm]
Aber das ist irgendwie falsch...
Ihr seht, irgendwie happert es ! Wie sieht denn diese Funktion überhaupt aus ? Lasst euch von meinen Gedanken nicht irritieren, sind bestimmt falsch ! :-( Hat jemand da nen Ansatz für mich ?
Gruß & Danke
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> Hi !
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> Ich hab hier als Aufgabe, dass in der Ebene n Punkte
> [mm]P_1,... ,P_n[/mm] gegeben sind.
Wahrscheinlich [mm]P_i\not=P_j \forall i,j : 1 \le i < j \le n [/mm], und [mm] n \ge 4[/mm] denn bei:
n=1: Gerade geht durch den Punkt, [mm] \infty [/mm] Loesungen
n=2: Gerade geht durch beide Punkte, genau 1 Loesung
n=3: Gerade geht durch 2 der Seitenmittelpunkte im Dreick [mm] P_1P_2P_3 [/mm], genau 1 Loesung - nettes geometrisches Problem
> [...]
> In unserem Tutorim hat dann noch jemand gesagt, dass
> hierbei der Abstand eines Punktes von der Geraden durch die
> Länge des
> Lotes vom Punkt auf die Gerade bestimmt ist.
>
> Die Schreibweise irritiert mich erstmal!
Damit ist nur gemeint, dass mit dem Abstand eines Punktes P von einer Geraden g der Normalabstand gemeint ist, sprich du stellst quasi eine Gerade h durch den Punkt P auf, die Normal auf die gegebene Gerade g steht, und die Strecke von P zum Schnittpunkt der Geraden g und h ist der Normalabstand oder auch Laenge des Lotes, oder was auch immer.
> [...]
> Und in welchem
> [mm]\IR^n[/mm] sind wir ? Ich mein, es gibt auch Hypebenen, daher
> ist also n=3 nicht unbedingt notwendig, oder ?
Wahrscheinlich im [mm]\IR^2[/mm] nachdem sich das Ganze ja nur in einer Ebene abspielen soll. (Zur Not kann man das Ergebnis der Ebene immer noch auf den [mm]\IR^n[/mm] uebertragen, da man eine Ebene im [mm]\IR^n[/mm] immer bijektiv auf den [mm]\IR^2[/mm] abbilden kann)
> Nun ist ja x ein Punkt auf der Geraden: Also gilt: d(x,y)=
> [mm]\wurzel{(x_1-P_{i1})^2+...+(x_n-P_{in})^2}[/mm]
> und es gilt doch min(d(x,y)) wird dann erreicht, wenn
> [mm]x_1-P_{i1}=x_2-P_{i2}=....=x_n-P_{in}[/mm] gilt, sprich
> [mm]min(d(x,P_{i1}))=\wurzel{n*(x_1-P_{i1})^2}[/mm]
> (GLAUB ICH)
????
Wenn d(x,y) den Abstand von der Geraden bezeichnen soll, und der Punkt (x,y) auf der Geraden liegt dann muss doch d(x,y)=0 sein.
Ich glaub du denkst ein bisserl zu kompliziert (oder ich zu einfach) 
gesucht ist anscheinend eine Herleitung fuer eine Regressionsgerde.
lG
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, du hast wirklich Recht ! Hab viel zu kompliziert gedacht !
*kommt öfters vor*
Hab jetzt die Lösung !
Wobei ich meine nochmal überschauen & bearbeiten muss, eigentlich erscheint mir das schon logisch ! Eiiiiiiiiiiiiiiigentlich *g* müßte man ja damit auch zum Ziel kommen !
Danke
Faenôl
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