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| Aufgabe | Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] a Element R
2.2.3
Untersuchen Sie die Lage der Geraden g zu jeder Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] in Abhängigkeit von a.
Prüfen Sie, ob F zur Ebenenschar [mm] E_{a} [/mm] gehort.
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Kann mir jemand nen Ansatz geben, wie ich die Lage der Geraden g zu jeder Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] in Abhängigkeit von a untersuchen kann?
Gruß Steffie
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Na, Du hast ja den Normalenvektor der Ebenenschar. Dann kannst Du leicht untersuchen, wie der sich zum Richtungsvektor der Geraden verhält.
Da gibt es nur drei Möglichkeiten:
1) die Vektoren sind kollinear (gehen in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung)
2) sie stehen senkrecht aufeinander
3) sie schließen einen Winkel ein, der kein Vielfaches von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] bzw. 90° ist
Fall 2 wird noch eine weitere Fallunterscheidung brauchen, bei den beiden anderen kannst Du einen Schnittpunkt bestimmen.
Hilft Dir das schon weiter?
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Habe jetzt versucht die Normalenform der Ebenenschar in Koordinatenform umzuwandeln, jedoch gelingt es mir nicht:
Mein Versuch...
ax+ay-2y+z=4
Keine Ahnung... Brauche noch mehr Hilfe! Bitte!
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Na, der Versuch ist doch gut gelungen!
Nur: wozu brauchst Du die Koordinatenform? Die Vektordarstellung ist hier viel praktischer, wenn Du weißt, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren überprüft. Du kennst doch bestimmt diese Ungleichung, in der [mm] |\vec{a}|, |\vec{b}| [/mm] und [mm] |\vec{a}*\vec{b}| [/mm] vorkommen...
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Ich kenne diese Ungleichung, doch welche Vektoren soll ich denn dort nehmen? Was ist [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}? [/mm] Denn ich soll doch die Lage der Geraden g zu jeder Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] in Abhängigkeit von a untersuchen...
Gruß Steffie
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Wie schon in der ersten Antwort...
Du nimmst den Normalenvektor der Ebene (samt seinem Parameter a) sowie den Richtungsvektor der Geraden. Dann bestimmst Du, für welches a Sonderfälle eintreten (Produkt=0, oder aus Ungleichung wird Gleichung) und schaust Dir die an. Für alle anderen a kannst Du dann den Schnittpunkt mit der Ebene ermitteln.
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Versteh das nicht...
Hab wie folgt gerechnet:
[mm] E_{a}: [/mm] ax+ay-2y+z=4
g: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1\\3}+r\vektor{-1 \\ 1\\2}
[/mm]
dann hab ich g in E eingesetzt und habe für a= 1 raus bekommen. Jedoch weiß ich nicht weiter und ob das überhaupt stimmt. Könntest du mir das bitte vorrechnen (so wie du es die vorstellst) Bitte
Gruß Steffie
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ok, aber danach muss ich mal los 
Richtungsvektor der Geraden [mm] \vec{g}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 2}, |\vec{g}|=\wurzel{6}
[/mm]
Normalenvektor der Ebenenschar [mm] \vec{n_a}=\vektor{a \\ a-2 \\ 1}, |\vec{n_a}|=\wurzel{2a^2-4a+5}
[/mm]
Skalarprodukt [mm] \vec{g}*\vec{n_a}=-a+a-2+2=0
[/mm]
Oho.
Die beiden Vektoren stehen, unabhängig von a, immer senkrecht aufeinander.
Das kann zwei Dinge bedeuten:
a) die Gerade liegt in der Ebene
b) die Gerade liegt außerhalb der Ebene und schneidet sie nie; eine ihr parallele Gerade liegt in der Ebene
Dazu musst Du für einen beliebigen Punkt Deiner Gerade noch prüfen, ob er in der Ebene liegt. Ich nehme mal Punkt [mm] A=\vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
[mm] \left[\vektor{2 \\ 1 \\ 3}- \vektor{-1 \\ 1\\6}\right]*\vektor{a \\ a-2\\1}=3a-3=0
[/mm]
Für a=1 liegt die Gerade also in der Ebene, sonst nicht.
Aus der Aufgabe bleibt Dir jetzt noch F zu prüfen.
Viel Erfolg weiterhin!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Vielen vielen Dank!!! Ich probier schon mal weiter zu rechnen...
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| Aufgabe | Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] a Element R
2.2.3
Prüfen Sie, ob F zur Ebenenschar [mm] E_{a} [/mm] gehort. |
F: [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+r\vektor{2 \\ 1\\-1}+s\vektor{-4 \\ -5\\-1} [/mm] oder x-y+z=4
[mm] E_{a}: [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0
[/mm]
Wie kann ich überprüfen, ob F zur Ebenenschar [mm] E_{a} [/mm] gehört?
Gruß Steffie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 21.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Prüfe mal F und [mm] E_{a} [/mm] auf ihre Lage (parallel, identisch, Schnittgerade) Auch hier wirst du an eine Fallunterscheidnung kommen, damit kannst du unter Umständen das a finden, dass F und [mm] E_{a} [/mm] identisch werden lässt.
Also
[mm] E_{a}: [\green{\vec{x}}-\vektor{-1\\1\\6}]\cdot{}\vektor{a\\a-2\\1}=0
[/mm]
F: $ [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+r\vektor{2 \\ 1\\-1}+s\vektor{-4 \\ -5\\-1} [/mm] $ oder x-y+z=4
F hat den Normalenvektor [mm] \vec{n_{F}}=\vektor{1\\-1\\4}
[/mm]
Gibt es jetzt ein a, so dass [mm] \vektor{a\\a-2\\1}\parallel\vektor{1\\-1\\4} [/mm] ?
Wenn ja, liegen die Ebenen für dieses a schon einmal parallel, ob sie dann identisch sind, prüfst du, indem du eine Punktprobe mit dem Stützpunkt von F in der Ebene [mm] E_{a} [/mm] machst.
Marius
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Für a=1 -> [mm] \vektor{a\\a-2\\1}\parallel\vektor{1\\-1\\4}
[/mm]
Dann Stützvektor von F in [mm] E_{a} [/mm] einsetzen
F: [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+r\vektor{2 \\ 1\\-1}+s\vektor{-4 \\ -5\\-1} [/mm] oder x-y+z=4
[mm] E_{a}: [\vektor{3 \\ 1\\2}-\vektor{-1\\1\\6}]\cdot{}\vektor{a\\a-2\\1}=0 [/mm]
[mm] \vektor{4 \\ 0\\-4}*\vektor{1 \\ -1\\1}=\vektor{4 \\ 0\\-4}
[/mm]
0=0
also identisch oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 21.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Für a=1 -> [mm]\vektor{a\\a-2\\1}\parallel\vektor{1\\-1\\4}[/mm]
Nein, [mm] \vektor{\red{1}\\\red{1}-2\\1} [/mm] ist doch nicht parallel zu [mm] \vektor{1\\-1\\4}
[/mm]
Um die Parallelität zu bekommen, müsste es ein a geben, so dass:
[mm] 4*\vektor{a\\a-2\\1}=\vektor{1\\-1\\4}, [/mm] da 4*1=4 (3 Koordinate)
Also musste es ein a geben, dass 4a=1 und 4(a-2)=-1 erfüllt.
Gibt es das?
Wenn nicht, sind die Ebenen nicht parallel, können also nicht identiscgh sein, es bleibt also nur noch eine Schnittgerade als Lage zwischen den Ebenen, insbesodere gilt dann [mm] F\not\in E_{a}
[/mm]
Marius
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| Aufgabe | Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] a Element R
2.2.3
Prüfen Sie, ob F zur Ebenenschar [mm] E_{a} [/mm] gehort. |
F zu [mm] E_{a}
[/mm]
F: [mm] \vektor{3\\ 1\\2}+r \vektor{2\\ 1\\-1}+s \vektor{-4\\ -5\\-1}
[/mm]
[mm] E_{a}: [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0
[/mm]
Stützvektor in [mm] E_{a}
[/mm]
[mm] [\vektor{3 \\ 1\\2}-\vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0
[/mm]
[mm] \vektor{4 \\ 0\\-4}*\vektor{a \\ a-2\\1}=0 [/mm] -> Punkt [mm] \vektor{4a \\ 0\\-4}
[/mm]
4a-4=0
a=1 ->F liegt in [mm] E_{a}
[/mm]
[mm] a\not=1 [/mm] -> liegt nicht in [mm] E_{a}
[/mm]
Hab ich Recht oder sind dort Fehler oder berechnet man das anders?
Liebe Grüße Steffie
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Keine Ahnung ich weiß nicht wie ich das noch berechen könnte! Kannst du mir helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Führe dieselbe Rechnung wie ben mit den beiden anderen Punkte der Ebene durch.
Wenn 3-mal dasselbe Ergebnis für $a_$ herauskommt, liegt $F_$ in [mm] $E_a$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Es kommen drei unterschoedliche Ergebnisse raus also...?
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> Es kommen drei unterschoedliche Ergebnisse raus also...?
Hallo,
dann gehört F nicht zu der Ebenenschar. (Hab's nicht nachgerechnet.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:54 So 30.11.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Könnte mir jemand diese Aufgabe vorrechen, wäre euch sehr dankbar... Komme allein nicht darauf...
Gruß Steffie
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> Könnte mir jemand diese Aufgabe vorrechen, wäre euch sehr
> dankbar... Komme allein nicht darauf...
Hallo,
???
Ich denke , Du hast schon gerechnet?
Du hast doch drei Punkte gegeben, für die ist jeweils das a auszurechnen, und wenn nicht dasselbe a herauskommt, gehört die durch diese Punkte bestimmte Ebenen nicht zur Ebenenschar.
Da Du das a für den einen Punkt ausrechnen konntest, wird's Dir für die anderen ja auch gelingen - und Du schriebst doch, daß Du schon gerechnet hast.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:20 So 30.11.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Ja aber ich bin mir nicht sicher und wollte wissen ob noch ein anderer das rausbekommen hat.
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> Ja aber ich bin mir nicht sicher und wollte wissen ob noch
> ein anderer das rausbekommen hat.
Hallo,
poste doch Deine Rechnungen.
Dann kann man ja schauen, ob Du's richtig gemacht hast.
Schreib am besten auf, welche fragestellung Du gerade lösen möchtest, was Du dafür zu tun gedenkst, und dann rechne.
So kann man sehen, ob es richtig oder falsch ist.
Gruß v. Angela
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier musst Du das 
Skalarprodukt