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| Aufgabe | | Zwei Geraden g und h im [mm] R^n: [/mm] Zeigen Sie, dass diese entweder keinen gemeinsamen Punkt besitzen, zusammen fallen oder genau einen gemeinsamen Punkt besitzen. |
Hallo,
ich habe hier mal meinen Lösungsansatz. Jedoch glaube ich irgendwie nicht, dass das der Beweis sein kann. Ich hab mir zwei Geraden mit verschiedenen Variablen aufgeschrieben.
entweder die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig: dann sind die Geraden windschief oder schneiden sich. Beim Gleichsetzen der Geradengl. kann dann entweder eine Lösung oder keine Lösung herauskommen: bei keiner lösung sind sie windschief, andernfalls schneiden sie sich. (was ist wenn hier eig unendlich viele lösungen auftauchen?)
oder die Richtungsvektoren sind linear abhängig: dann sind sie parallel, wenn das Gleichsetzen keine Lösungergibt und gleich, wenn es unendlich viele Lösungen gibt.
Das kann doch aber nicht die Lösung sein, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Sa 17.11.2007 | | Autor: | AnneKatrin |
Mal wieder vergessen....
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 So 18.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo AnneKathrin
Du meinst wahrscheinlich Geraden im [mm] \IR^{3}, [/mm] oder?
Also: [mm] g:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\vec{v}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vec{b}+\mu\vec{u}
[/mm]
Weil sonst wäre das mit dem Schneiden nicht so einfach.
Deine Unterscheidung der Richtungsvektoren ist korrekt, sind sie parallel, gilt entweder [mm] g\parallel{h} [/mm] oder, wenn A auf h liegt sogar identisch.
Sind [mm] \vec{u} und\vec{v} [/mm] nicht parallel, kannst du ein GLS aufstellen, und somit den eventuellen Schnittpunkt berechnen, sofern das GLS lösbar ist. Ist es nicht lösbar, sind die Geraden windschief zueinander.
(eine allgemeine Lösung (also unendlich viele Lösugnen des GLS) kann es nicht geben, da die Richtungsvektoren dazu parallel sein müssten, und den Fall haben wir ja schon behandelt)
Somit hast du alle vier Möglichkeiten abgedeckt.
Marius
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